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我引用一下A. Zee寫過的一段有意思的話：

Indeed, a Fields Medalist once told me that top mathematicians secretly think like physicists and after they work out the broad outline of a proof they then dress it up with epsilons and deltas. I have no idea if this is true only for one, for many, or for all Fields Medalists. I suspect that it is true for many.

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《數學在基礎物理中的有效性─威格納之後三十年》 徐一鴻

那麼數學和算術的差別到底是什麼？我認為，一位夠聰明的物理學家（暫時定義成顯然比我更聰明的某人）在有限時間內，遵循大致上直截了當的邏輯，卻無法完成的那種研究就是數學（至於有限時間是多長，就讓各位去煩惱）；其他的都是算術。舉例來說，我可能可以掌握勒讓德方程（Legendres equation）解的性質，因此所有這些勒讓德方程的性質絕對都是算術。另一方面，從高維球面有意義的映射到低維球面的所有可能性只有三種，這是我所謂的數學。

人們不見得有遠見將波函數寫成z的函數，通常只寫成x和y的函數。可想而知，我們還是有可能這樣發展出整個理論，畢竟在每一步，只要將方程式重新做規範變換，將x和y重寫也可以做到。但是這麼一來，整個理論的結構性就會整個模糊掉了。

馬克士威習慣寫出電場與磁場的各個分量，用E表示電場的第一個分量，再依序使用F、G、H、 I、J（這就是磁場用H 表示的原因！）我不曉得這個故事是不是別人瞎編的，但你大可想像用這種符號去研究電磁理論的問題！標數的選擇真的是門很細緻的學問。怪不得有人說，利用重複標數取和的約定是愛因斯坦對物理學最偉大的貢獻之一。

我剛進大一時，惠勒決定做個教學實驗，他想用「從上到下」的方式教那一年的普通物理學（所以學生先討論相對論和量子力學，然後再將古典物理當做「無聊」的逼近。附帶一句，這個實驗隔年沒有重複再做。）我們學電磁學時用的就是微分形式，也就是所謂「無標數的標數」。

微分形式的真正長處並不是為了避免書寫無止無盡的標數串，而是釐清各種物理量的幾何特性。譬如在磁單極的問題里，規範場的二維形式讓我們能將規範場F視為單一的幾何物。相較之下，如果將F以分量寫出，則需要先選擇一個特定的坐標，結果就是將簡單的幾何概念（像是面積），拆散成一堆無法辨認的混亂符號。另一個例子是上一段提到的問題，物理學家用算術計算，早就在n=2的情況解出ω。但是只有能夠認識到，tr F^n做為微分形式是閉的（closed），而不是正合的（exact），才真正透露出更深刻的理解。

麻煩的是，當惠勒嘗試說服我微分形式之美時，我正在嘗試掌握計算帶電圓盤電場之類的問題，換句話說，就是那種像股票定價分析的問題，幾乎沒有什麼內在的幾何結構可言。微分形式在只用到算術的問題里絕無可能展現威力。 （這提示我另一個算術 vs. 數學的定義：電荷周遭的電磁勢＝算術；而磁荷周遭的電磁勢＝數學。）

我早期對微分形式的態度是物理學家研究的典型心態：除非我能用它做點什麼，不然我就不要去學。譬如我現在對纖維叢（fiber bundle）的態度，就還停留在這種階段。我還在等待真正需要纖維叢理論協助的問題，無疑我終究還是會碰到的。纖維叢所展示的數學概念，既普遍又自然，讓我十分驚艷，在某個時刻，它一定會開始誘惑我。

纖維叢提供了一個範例：有時候，光是知道這個字眼就夠有用。說起來，它就像可以懸掛物理概念的掛鉤，用起來常常像是增強記憶的技巧。譬如說，處理帶電粒子在環繞磁單極的單位球面上運動的基本問題時，纖維叢理論提供的專有名詞「截痕」（section），雖然在解題時沒有太大的幫助，卻能提醒我們波函數是在個別區域中各自解出來的，需要用規範變換將它們拼合起來。近年，物理學家大體上也是像這樣運用同倫群（homotopy group）的概念，把它當做一種增強記憶的手法。

事實上，我認為我們可以提出一個問題：「對稱性在理解大自然時不合理的有效性」。為什麼大自然在基本層次是由對稱性來宰制的？大自然變得愈來愈對稱的事實，意味著它是設計出來的嗎？愛因斯坦曾經說過，關於世界最令人不可理解的就是它是可理解的。

我想提一下理論物理學家的普遍感受，這個情懷可以高尚的敘述成「如果我做的物理問題呈現意料外的豐富數學結構，那麼這個物理理論一定是正確的。」我們都知道這個假說曾經被驚人的驗證過，例如愛因斯坦的重力理論與狄拉克的電子理論。

https://ir.nctu.edu.tw/bitstream/11536/129216/1/yaucenter-20140615-06.pdf?

ir.nctu.edu.tw

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其實我感覺物理和數學底層思維還是挺類似的，但是處理具體問題的時候方法和手段上有些區別。

我說的底層思維(這是一個我自己瞎造的詞)是指數學和物理都希望從一組原則(公理)出發來建立一套理論。物理裡面的原則是靠實驗總結出來的，比如說我們要求理論應該是有洛倫茲不變的，要求相距很遠的散射過程是互不干擾的。這兩個要求都是實驗上得來的，而且符合直觀(畢竟直觀也是由實驗結果培養出來的)。在這個基礎之上我們建立了量子場論。數學上，那一組原則又被稱為公理，是人造出來的，但是我們也要求這些公理是不互相矛盾的而且盡量少，盡量自然。然後從這些公理上，我們探索有沒有有意思的結構，能不能解決一些問題。

同時物理和數學都嘗試著從不同的角度看待問題。比如說量子力學裡面，可以從canonical的角度看待量子態的演化，也可以從path integral的角度說粒子在時間t於a點演化到時間T(T&>t)於b點的amplitude是經歷各種路徑關於作用量的加權平均。那麼從path integral的角度我們更能看出量子力學跟經典力學的聯繫。量子力學相當於是經典力學(作用量極值處)和量子漲落(其他路徑)的疊加。

數學也經常從不同的角度看待問題。不過，不同於物理的是，數學中不同的角度往往意味著不同的深刻程度(抽象化的程度)。最開始我們研究實空間上的連續函數，後來我們定義不同的函數空間來直接研究函數之間的關係。最開始我們對映射的理解停留在集合之間元素的對應關係，後來我們可以不通過元素而直接研究態射的關係。數學上從不同的角度多半意味著站在不同的高度。過於具體的東西往往因為過於具體而讓人拘泥於瑣碎難以找到其中關鍵的結構和性質。通過抽象化，可以看清楚結構和性質之間的關係，看明白不同體系之間的聯繫。

我認為我們學習、研究數學，是因為我們腦子不太厲害，需要數學來幫助我們思考一些問題。比如之前所說的抽象化，就是在幫助我們減少干擾。再舉個例子，比如我們研究高維體系的時候，我們腦子想不出來大於等於4維的複雜體系，研究這種體系的時候，有一種著名的辦法，就是把這個體系看作是一些平面縫補拼接而成(當然，使用這種辦法對這個曲面本身有一定要求)，從而讓我們下手處理這個問題。

處理物理問題的時候，我們一般都會有一個總的Hamiltonian來描述這個體系的自能和各種相互作用。從這種意義上來說，物理是簡單的。畢竟我們在研究問題的時候，已經有了對物理體系的描述。但是由於一般我們研究的體系由極多粒子組成，直接解運動方程在現有水平下完全不可能。所以實際操作中，物理不容易。(Physics is simple but not easy. And this sentence is also made up by me.) 在處理問題的時候，我們通常會做近似，而且極有可能是很大膽的近似。我們有時會把一些運動集中在某個小區域的粒子當成不動的，然後假設一些好的邊界條件，尤其是當體系的邊界對性質影響不大的時候。我們經常做低能量近似，比如說只考慮幾個激發態，然後整個Hilbert space就幾個態，再來個對角化，就美滋滋了。然後這種低能量近似的後果就是結果只在超低溫，低頻(如果有光學效應)才能被觀測到。我們有的時候，也在複雜體系中假設一些對稱性，比如Parity，Time reversal等等，但是現實生活中體系的雜質和其他缺陷可能會破壞這種對稱性。所以我認為現在很多實驗都在不斷突破極限，比如超高溫，超高磁場或者超低溫等等，有一部分原因是我們理論上搞出來的一些東西只在十分特殊的情況下才是對的。

除開一堆迫真近似，物理裡面有一些數學上是狗屎但是物理上說(混)的過去的方法。這一點在無窮大處理上體現的十分明顯。比如說學量子場論一開始的時候，會算自由Bosonic場的Hamiltonian。然後會算出來一個無窮大的量加一個有限項。我們的處理方法是：直接把無窮大量丟掉。數學上這是十分不負責任的。物理上，我們argue說這個無窮大量是個常數，不會被觀測到，所以直接扔。再比如說算QED裡面散射振幅的時候，我們經常遇到紫外發散(頻率趨於無窮的發散)和紅外發散(頻率趨於0的發散)。於是計算中，處理紅外發散的時候，我們直接讓光子有個小質量，然後希望這個質量不會在結果中出現(不然物理上說不通)。計算紫外發散的時候一般有兩個常用的辦法，一個是強行假設多出一個質量極大的光子，把高頻部分截斷，然後同理希望這個極大的質量最終奇蹟一般的消失(這個地方我引用了某著名政治家，企業家的一句話的一部分)(實際上並不是奇蹟般的沒了，而是我們使用重整化方法，把這些發散的東西吸收到各個參數裡面，比如說質量，電荷。)另一種方法是先假設我們所在的時空維數不是4維，而是d維，然後在d維下算出結果，最後讓d無限趨近於4。對你沒看錯，這裡的時空維數不是整數維。一開始我被震驚了，後來算了幾個例子之後直接真香，因為這個真的好用。

所以解決實際問題的時候，數學還是保有原來的嚴謹性，並嘗試站在不同的高度看問題。但是物理中，一般會搞一堆近似，並在計算中用一些迫真方法，然後希望現實生活中還真能找到理論中預言的現象。(並沒有諷刺物理。)

(Viewer discretion is advised.)不過，yysy，我認為現代物理裡面還是有一兩個比較特殊的思維：強行推廣(類比)思維和強行找親戚思維。比如說在一開始學bosonic string theory的時候，會給出一個Nambu-Goto作用量，這個是直接從經典力學裡面推廣來的。然後在這個基礎上，為了量子化，我們引入了worldsheet度規，假設邊界條件，解出經典運動方程，找出振動模式，求出poisson括弧然後直接把這個對應成commutator於是量子化完成。所以說我們需要實驗來驗證string theory里的猜想，因為這裡面的東西不是直接從量子場論裡面推出來的，有些出發點是在使用了強行推廣(類比)的思維得到的。強行找親戚思維是在我看一下文章的時候體會到的。多半是在凝聚態體系里，先有了一個近似模型，然後再做一些近似，發現有些作用量跟高能(或者其他方向)理論的作用量出奇的一致，然後說自己實現了那些搞高能的人還沒實現的東西。。(重申：並沒有諷刺物理。)

本文只是個人觀點，請大家謹慎對待。可能有錯別字或者病句，但是我懶得檢查了。

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更新：

沒想到這個隨手一答，會在評論區遇到一個較真（褒義）的。我想說，這裡無意仔細展開一些具體細節，因為偏題太遠了。真的想深究，可以看看兩人的經典著作《量子力學原理》和《量子力學數學基礎》。兩本書相隔兩年，但是我覺得真的體現了物理思維和數學思維的不同。

現在大學高年級的人都熟知數學知識，在當年量子力學形式理論尚未建立的時候，其實並不為多數物理學家所知。所以說，我們現在人人習以為常的希爾伯特空間，在當時還很大程度上是數學家圈子裡的東西。

可以用量子力學形式理論的兩個創立者 - 狄拉克和馮諾依曼的思路，來看看同樣是物理理論，物理向和數學向思維的不同。

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狄拉克：「態疊加原理」

馮諾依曼：「量子態存身於希爾伯特空間」

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狄拉克：「測量必須是實數結果，所以算符本徵值是實數」

馮諾依曼：「厄米算符」

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狄拉克：「確定的分布可以用一個delta函數描述」

馮諾依曼：「delta函數是一個自相矛盾的數學虛構，並且在形式理論中是完全不必要的」

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狄拉克：「我證明了波動力學和矩陣力學是等價的」

馮諾依曼：「呃，老哥你的證明無效，看我用嚴格的數學來證明……」

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現在，大家教科書用的原理是來自狄拉克的，但是公理體系主要還是馮諾依曼的。大家基本上習慣於用形式理論來計算，用物理原理來理解。

「量子現象不是發生在希爾伯特空間，而是發生在你的實驗室中。」

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先說句題外話：物理思維和數學思維不是對立的兩面，與其說一個人「是物理/數學思維」，不如說他「物理/數學思維的比重更大一些」。

我是數學系的，但我有兩個物理系的舍友。我們平常聊天，除了聊天聊地聊番劇聊妹子之外，有時也會分享一些自己正在學的課程、或者正在看的論文里比較有意思的內容。反正就是互相地講講課，一方面給自己整理一些思路，另一方面也了解一下其它領域的內容和思想。

然後我就發現，數學系的和物理系的看問題確實不太一樣。

當然，因為我不是物理系的，所以我就只從數學的視角來談這個問題了。

比方說，同樣給一個數學系大二的學生和一個物理系大二的學生講高斯絕妙定理——這裡我們假設數學系的學生還沒有學習微分幾何，物理系的學生還沒學習廣義相對論，而且他們都還不知道高斯絕妙定理在數學/物理中的具體應用是什麼——這個時候，數學系的通常會立即感受到這個定理的不平凡，而物理系的通常會有「ok, 我知道了高斯曲率是『內蘊』的，然後呢？」這樣的反應。

/*再比如說，還是剛上大二的學生。你給數學系的講群表示講特徵標，他通常能隱約感受到這裡面「有點什麼東西」，甚至會產生一種「這是某個大框架下的特例」的感覺（因為按照通常的學習群表示的路線，學生會有一種「不那麼自然」的感覺）。但物理系的，在知道群表示、特徵標會廣泛運用於物理中之前，往往對其並不感冒。（不過到了大三就完全反過來了...）（註：我不確定這個例子舉得好不好，所以暫且存疑）*/

接下來的一個例子，我覺得把數學系和物理系的差別體現得淋漓盡致。

當我給物理系的室友講範疇論的時候，他對其是完全不屑的。——當然，「不屑」這個詞用得可能不是特別準確，反正就是「ok你有了這樣的一個概念，所以呢？」這種反應。

不過，我還有一個同學，主修物理，但是是數學/物理雙學位。不知道為什麼他對範疇論好像有一些興趣，然後拉著我要我給他講一講。當我給他講到「單射/滿射在範疇論中的定義」的時候，他竟然覺得「非常酷！」並且覺得這個推廣有一些小帥——這種反應我在純物理系的同學中是看不到的。

當然，反過來說，物理中也會有一些問題，你給物理系的講，他們會覺得很excited, 但給數學系的講則很難觸碰到他們的G點——不過這樣的例子還是留給做物理的講吧，我怕我講會出錯...

綜上，想要知道一個人更「數學」還是更「物理」，不妨在他們知道諸如「高斯絕妙定理」「範疇論」等等的具體應用前，看看他們對這些東西的反應。如果他們的反應是「ok, 是這麼回事，但是它究竟有啥厲之處嗎？」，那可能就更偏物理一些。反之，如果他們能立即感受到它的不平凡，那可能就是更偏數學的思維。

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