我的研究
我的研究興趣主要集中在非微擾量子場論的數學基礎及其詮釋理論，其中，量子引力理論，即相對論和量子理論的統一，是我特別關注的問題。 量子引力問題是物理學中最基本的問題之一，可以說連同暗物質、暗能量問題一起，構成了現代物理學中的最大的兩朵烏雲, 解決它們應該是很多人的夢想。
在我的觀念中，非微擾量子場論分為兩類：（1）背景無關的非微擾量子場論（例如圈量子引力，陳-西蒙斯-威騰量子理論，BF理論，等）；（2）背景相關的非微擾量子場論（例如超對稱量子場論的BPS態理論，包括超弦理論，超引力，超對稱規範理論，等）。
對於這兩類非微擾量子場論的數學基礎，我都有興趣並且有些想法。我認為量子引力理論應該屬於第一類，把這一類的數學框架叫做量子流形理論，它包括三個部分：拓撲序論，PI-張量範疇理論和因果凝聚理論，這一框架平行於因子化同調理論，其中張量範疇的圖形演算相當於small disc operad， PI-張量範疇理論相當於考慮small disc operad的商operad理論，因果凝聚理論則相當於因子化同調中的Kan擴張構造（範疇化積分）。我認為這個框架可以綜合好幾個競爭性理論的優點，為量子引力問題提供了新的思路。
我把第二類非微擾量子場論的數學框架叫做BPS代數理論，它包括三個部分：阿貝爾範疇的霍爾代數理論，阿貝爾範疇的海克代數理論，和穩定性理論，也可以考慮它們的derived或者homotopical版本。這一框架是從現代數學物理的快速發展中總結出來的，它聯繫了幾何表示論，代數表示論，可積系統，模空間的幾何和量子對稱性的研究。和第一個框架有一定的共同點，BPS代數理論也強調定向圖或者quiver，以及Kan擴張的基本重要性。但是，相對於第一個框架的研究，這個框架還不成熟，有幾個根本性的技術問題沒有解決。
簡單地講，量子流形理論是受物理啟發的對於張量範疇的研究，BPS代數理論是受物理啟發的對於阿貝爾範疇的研究。從數學上看，張量範疇和阿貝爾範疇都是很經典的數學對象，但我認為目前人們對它們的認識還不全面，仍然有一些基本的觀念，特別是和量子物理的關係，有待澄清。
從歷史上看， 對於第一類非微擾量子場論，即背景無關的量子場論，的研究一直不是很熱，只是少數人關注的領域，其原因是一個有趣的問題。而第二類非微擾量子場論，即有背景的量子場論，或者量子場論中非微擾效應的研究則一直是數學物理的主流方向，並且其研究在不斷的豐富。從威騰開始用超對稱量子力學解釋莫爾斯理論，到同調鏡對稱猜想，幾何朗蘭茲綱領的提出，從哈維-穆爾定義BPS代數到Joyce的motivic Hall 代數，Bridgeland的穩定性條件，cluster代數的提出，再到康塞維奇-蘇泊曼的穿牆公式，等等，整個領域的研究進展逐漸展現出一個統一的景象，即阿貝爾範疇的量子對稱性理論。
當前我主要花時間在第一類非微擾量子場論的研究上，並且獲得一些進展，因此下面我將重點陳述一下對於量子流形理論和量子引力的理解。
（一）量子流形理論
和經典的流形理論或代數簇理論比較起來，量子流形有很多相似的地方，這是為它取這個名字的原因。經典流形和代數簇都可以從多個角度來理解，量子流形也是如此。簡單講，量子流形理論是（1）經典代數簇理論的「張量化」或者「量子化」；（2）它是Baez的自旋網路構造的一般化和代數化；（3）同時也可以看做是弦網凝聚理論的內蘊化。
一個經典流形就是一個裝配了局部坐標系統的集合或者拓撲空間，其不同的局部坐標卡之間可以相互轉換。一個量子流形則是一個裝配了「局部坐標系統」的線性空間，其局部坐標系統就是自旋網路系統或者張量網路系統，一個態/向量在局部坐標卡的表示下就是一個自旋網路態或者張量網路態，這種具體的表示稱為這個態/向量的局域張量坐標。在經典情形，不同的局域坐標卡可以相互轉化，轉化關係是微分同胚；而在量子情形，不同的局域坐標卡的轉換關係是粗粒化的關係。這其中一個關鍵的思想就是量子糾纏具有一定的相對性，它是和態的張量坐標表示是有關的。
經典情形的坐標卡轉換關係要滿足一致性條件或者cocycle條件；在量子情形下也是一樣，一致性條件就是粗粒化不動點條件。在凝聚態物理模型中通常討論固定的網路結構，從量子流形的角度來理解，這樣做就相當於固定了一種「觀測尺/精度」或者選擇了一個特定的坐標系統，並沒有把量子液體的結構內蘊化。類比於經典情形，這就像把經典流形嵌入在歐式空間中，把它定義為一個特定函數的非退化零點集合一樣，而要定義它的內蘊的微分結構則需要藉助隱函數定理。這是對量子流形的第一種理解，也可以理解為是抽象的弦網液體（以前我稱之為費曼流形或張量流形）。
從另外一個角度，經典流形或代數簇可以理解為一種特殊的代數層，量子流形也是一樣。對於量子流形，每一個網路結構（局域坐標卡）都相當於一個開集，網路結構的不斷粗粒化相當於不斷取領域系或坐標變換，網路結構上的代數結構在領域系的極限下就相當於層的莖stalk，它是一個張量範疇（這是我們計劃要證明的張量範疇的nerve定理）。一個經典代數簇可以用一個代數方程組來定義，類似地，（代數的）量子流形可以用一組張量網路系統來定義，這組張量網路在粗粒化下封閉相當於代數方程組生成多項式代數的理想一樣。這是第二種理解，其中張量網路就是張量多項式，這一個觀點有利於把PI張量範疇和PI代數理論進行比較。
還有第三種角度的理解，就是把流形的光滑結構理解為一種Kan擴張構造。所有的仿射空間連同其上的光滑坐標構成一個濾子系統，一個拓撲流形的光滑結構就是對於這個濾子系統的Kan擴張（只能粗略地這樣看，因為一般的拓撲流形其光滑結構並不唯一）。同樣地，對於量子流形而言，這種方法也適用且更自然。在spin network in gauge theory一文中，Baez給出了一種構造聯絡模空間上典範測度的方法，這個典範測度是通過自旋網路構造而間接得到的，從而嚴格地給出了規範理論的非微擾量子化方法。更重要的是，這個方法也適用於具有（微分）同胚不變性的規範理論，並給出圈量子引力中為何出現自旋網路的最直接解釋。我發現Baez的工作背後其實有一整套範疇論的邏輯，即一旦把其語境代數化/範疇之後，他的這個工作恰恰就是一種Kan擴張構造（從泛函分析的角度，他的方法可理解為一種非線性投射技巧）。規範理論和自旋網路有著深刻而自然的聯繫，這個聯繫一方面是通過Baez的自旋網路構造體現（非微擾量子化，從經典理論到量子理論），另一方面是通過弦網凝聚理論體現的（演生理論，從量子理論到經典理論）。
（二）量子引力理論
廣義相對論是一個原理性理論，廣義協變性是它的核心原理（在數學上要求理論是微分同胚不變的，這一原理和Connes的譜幾何觀念也是一致的；更進一步的解讀，則是要求理論的背景無關性）。量子力學同樣也是一個原理性理論，其中態疊加原理是它的一個核心原理。這兩個理論背後都有穩健的數學結構支撐。目前能夠同時概括這兩個理論背後數學結構的數學框架就是Connes的非交換幾何，但它的潛力有限，至多可以成為一個微擾（歐式）量子引力的數學框架。
在對量子流形理論的理解之上，我們可以分析如何自洽地統一廣義相對論和量子力學，即解決量子引力問題。眾所周知，目前有好幾個競爭性的「量子引力理論」，如圈量子引力，弦理論，因果集理論，因果動力學三角理論，等等，它們各有優勢，但又都有致命缺陷而難以成為一個令人滿意的量子引力的理論。這些理論面臨的最大的幾個原則性問題就是（1）背景無關性問題，（2）時間問題，以及（3）低能有效問題，其中背景無關性明顯地要求量子引力需要是一個非微擾的量子場論，時間問題則更像是一個深刻的哲學問題，而低能有效理論問題則似乎要求理論能夠退化到Connes的非交換幾何的數學框架。
量子流形理論對於解決第一個和第三個問題是有希望的，一方面它可以內蘊地描述量子液體的結構，表現其背景無關的特點；另一方面，可以借鑒弦網凝聚的演生思想來構造一個低能有效的經典理論（更好的名字似乎應為平均場理論），當然不排除有其他的構造經典理論的方法，比如下圖展示的量子糾纏熵的方法，最後回到Connes的非交換幾何框架。
現在用量子流形的框架解決量子引力問題的主要困難就是時間問題。 對於該問題，我認為有必要再把它分解為兩個基本問題： （1）第一個問題是如何量子化零溫度下的時間，這個問題也即是如何量子化廣義相對論中因果結構； （2）第二個問題是如何描述與熱力學有關的「時間」。 這兩個問題當然是不同層面的問題，但可以期望二者在數學框架上有很好的相容性，其中第一個問題稱為量子時間問題，第二個問題稱為熱力學時間問題。對於第一個問題，我提出因果凝聚的數學框架來解決，對於第二個問題，我認為羅威利和Connes的熱時假設理論是一個很好的備選答案，並且在羅威利和Connes的分析中可以看到他們的熱時假設和宇宙學，相對論，盎魯-霍金效應等都有很好的兼容性。 如何具體地建立這兩個時間問題的關聯是我下一步要思考的問題。
因果凝聚框架是建立在圖形演算和向上平面性理論基礎之上的，它的主要動機為霍金-馬拉門特定理，該定理也是因果集理論的主要動機。關於因果凝聚的詳細介紹見
魯學星：拓撲偏序和因果網路凝聚理論
目前，該理論的數學框架已經大致成型，並無原則性的問題，其主要的論斷就是量子時空是一個因果網路凝聚態，最核心的定理就是張量範疇的nerve定理和Kan擴張構造（Baez的自旋網路構造的代數版本）。
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