其目的和意義是什麼？

看tag都是物理方向的, 那麼我這裡總結一下從量子力學角度的理解:

我們都知道任意兩個算符 [公式] 的測量具有不確定性關係 [公式]

所以當我們看到兩個算符可對易的時, 我們想到的應該是二者對應的物理量可以同時被精準測量.[1]

這等價於說存在一個量子態即是 [公式] 的本徵態又是 [公式] 的本徵態. (其實有個特例?)

一般而言我們研究的都是厄米算符, 所以更進一步來說就是:

"如果兩個厄米算符[公式]與[公式]可對易, 則[公式]與[公式]的共同本徵矢構成態空間的一個正交歸一基. "

厄米算符的本徵矢本來就有完備性, 即這個命題重點在於: [公式]二者存在共同本徵矢.

結論的證明:

下面假定[公式]與[公式] 均為離散譜, 連續譜可類似的證明.

設 [公式] 其中 [公式] 用於區分同本徵值子空間各基矢.

[公式]是厄米算符 [公式] ----------------------------------------------[i]

[公式] 說明 [公式]也是[公式]的本徵矢.---[ii]

下面討論在 [公式] 的本徵矢表象下的 [公式] 矩陣(即[公式]的矩陣元為[公式]):

(不懂矩陣表示的看這 正樹：表象變換的幺正算符怎麼定義的? 為何說算符與態可以看作矩陣?)

結合[i][ii]不難得到: [公式] 這說明 [公式] 是一個分塊對角的矩陣:

紅框內即B矩陣

其中[公式]代表[公式]的本徵子空間即 [公式] 構成的空間. 而陰影部分就是我們接下來要討論的部分了:

(1)若[公式] 的本徵值非簡併, 即 [公式], 每個格子都是[公式]的矩陣, 這就說明上面這個矩陣就是個對角陣. 此時標註簡併情況的 [公式] 可以去掉, [公式] 就是 [公式] 的本徵矢.

更詳細一點: 由[ii]知 [公式] 由於[公式]非簡併說明[公式]的子空間是一維的. 也就是說子空間裡面的所有矢量必須共線: [公式] 其中 [公式] 是一個比例係數. 同時這也是[公式]的本徵方程. 實際上有相當一部分教科書到此就結束了, 他們迴避了簡併的情形, 這樣的證明是不能讓人滿意的.

(2) 若[公式] 的本徵值存在簡併, 則圖中的每個陰影子塊都是一個 [公式] 的方陣, 其中的矩陣元表示為 [公式]其中 [公式]. [公式] 是厄米算符, 所以這個子塊也是厄米矩陣, (即 [公式]), 這說明這個矩陣可以對角化, 對角化的過程無非就是在子空間內尋找一組新的矢量做基使得這組基中表示的 [公式] 矩陣對角. 仿照(1)中的過程不難發現所有的新矢量都是 [公式] 在 [公式] 中的本徵矢. 所有子空間所有的新矢量的集合即為所求, 即這些新矢量同時是 [公式]與[公式] 的本徵矢.

?[公式]: 在後面的相容性與對易性研究過程中表明假如觀察算符 [公式] 與 [公式] 可對易, 就可以找到一組共同的本徵矢, 從而推出他們的相容性(即可同時測量), 那麼難道不可對易就一定不能找到一組共同的本徵矢嗎？

?[公式]: 是的,下面用反證法予以證明:

假定觀察算符 [公式] 與 [公式] 不可對易. 但我就是somehow找到了他們的一組共同本徵矢 [公式]使得 [公式] 且 [公式] 其中 [公式] 標註簡併情況.

那麼 [公式] [公式]

由於 [公式] 不能全是零矢量, 所以只能是 [公式] 這就與前提矛盾了.

所以, 你不能.

我們一般利用這個特性來構造可對易觀察算符的完全集合[2].

詳見: 正樹：關於概念ECOC(可對易觀察算符的完全集合)可能產生的疑惑

參考

  1. ^如果有對應的物理量的話
  2. ^有些地方稱之為力學量完全集

算符對易的概念首先可以看線性代數（海森堡的研究歷史），如果有兩個矩陣A，B。若對於A，可以找到某個矩陣S將其對角化，則A是可對角化的矩陣，即有 [公式] 。如果B與A對易，即可知B也能被S對角化，只要計算 [公式] 即可證明。所以，如果兩個矩陣對易，那麼它們可以被同時對角化。

在量子力學的矩陣力學表述里，力學量算符可以用矩陣表示。如果兩個算符對易，則表明它們同時具有定值。常見的教材例子就是角動量，比如朗道《量子力學》新中文版P79給出了 [公式] 的例子，即角動量的平方可以和它的一個分量同時有定值。力學量算符作用到態函數上，可以看成是一種觀測，測量值是算符的某個本徵值（乘上某個概率）。如果兩個算符對易的話，就表明同時測定這兩個算符對應的物理量，比如角動量的平方和它的某個分量可以同時測定。這也說明了執行兩個操作，誰先誰後是不影響測量的。這個背後深刻的意義是操作對稱性。比如把書沿著中心軸左、右翻轉，這兩個操作先後順序無關，即是對易操作。如果把書先往上翻轉再往右翻轉，這兩個操作先後如果不同，結果也不同，即不對易。滿足對易關係的元素組成的集合，且具有群結構的話，稱為阿貝爾群。

最後可以再看埃倫費斯特定理這個例子： [公式]

這個式子說明的是如果哈密頓量不顯含時間，且某個力學量算符A與哈密頓量對易，那麼這個算符A不隨時間變化。我們知道哈密頓算符可以看成是對能量的測量。根據深刻的對稱性定理：諾特爾定理，能量守恆就是時間平移的不變性的結果。如果能量不顯含時間，則 [公式] , 即有能量守恆。如果A和能量算符H可以同時測定，A即有時間平移不變性，否則A隨時間變化了就搞不定H了。因此A和H對易可以推出A不隨時間變化。這也可以定性地說明埃倫費斯特定理。

兩算符對易，表示兩個操作可以交換順序，其作用結果不變。

對易性與算符本身和作用對象由關係，算符可對易問題就變得簡單，因為作用與順序無關。

如果算符構成成群，群元可對易就是阿貝爾群，阿貝爾群結構簡單，比如繞固定軸旋轉就是阿貝爾群，旋轉結果就是旋轉角度的代數和。

如果是三維空間旋轉，繞不同的軸旋轉的操作就是非對易的，3階魔方操作就很複雜，需要長時間的訓練才，記住一串公式才能復原3階魔方，給定任意一個打亂的魔方計算最小還原步驟基本是人腦算不出來的。

再比如，在歐氏空間中，向量的平移就很簡單，沿任意路徑平移得到的結果是一樣的，也就是平移與路徑有關，歐氏空間的平移是絕對的；但是在非歐空間中平移就複雜與路徑相關，非對易性代表的空間特性比如曲率： [公式] ；撓率： [公式] .李導數算符也體現了空間的非對易性： [公式] .

算符對易，在不同場景下有不同的理解，要根據算符的作用含義來理解。很難籠統的去理解。

一般根據算符的非對易性可以構造兩類新的運算元：

運算元構成群有對易子： [公式]，包含對易子的最小子群就是正規子群，如果兩運算元對易，則對易子是單位元；

運算元構成環則有李括弧積： [公式] ，對李括弧積是反稱的，如果兩運算元對易，則李括弧積是零元。

曲率張量可以表示為： [公式] 關於運算元 [公式] 是反稱的，撓率張量關於運算元[公式] 也是反稱的，在歐氏空間，它們統統都是零，這就是平直空間的本質特徵。

這幾個運算元：對易子、李括弧積、運算元反稱運算得到的新運算元都是用來研究非對易性的重要運算元。

統一的理解都是書本上的內容：共同的eigenvector保證了包括演化等等過程的某些特殊性質；或者從群論表示去理解的矩陣對角化、不存在相互作用項。

個人理解就不太敢講了 臆想成分比較高

推薦科恩塔諾季的《量子力學》，去看一看就明白了，講得非常清楚，比我在這裡寫回答好得多

我感覺最好的理解就是這兩個算符數學上不能互為傅里葉變換

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