現實生活中存在無理數（長度、面積、時間）嗎？
現實中的物體是連續的嗎？物體有準確的「長度」嗎？如果沒有，數學的公式是不是無法與現實生活對應，只是近似值？如果有，隨意畫一條線，線的長度會是無理數嗎（用圓規畫一個圓，圓的面積是無理數嗎）？
（我純小白，問了這樣一個奇怪的問題，大佬勿噴）
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這不是一個小學數學問題，麻煩看清問題，要是能用屁股想明白我也不來知乎問了。
謝謝
哎，這都被你發現了。
第一個事實是，可從來沒有一個人說過數學公式可以和現實生活完全對應喲。我們從來都是對現實世界進行建模，近似成立就是好的，所以從來沒有正確的理論，只有不斷完善更加精確的理論。
再一個事實是，數學的東西確實有可能無法和現實對應，比如「巴拿赫-塔斯基悖論」。
（挺好的一個問題， @Patrick Zhang 又來不懂裝懂地強答了，從張工的回答里那些婦孺皆知的車軲轆話可以看出張工完全就沒讀懂題目…）
另外，對於這個問題下那些用到測度論的回答，既然題主要問的是現實中的物體，那麼測度論的知識在這裡其實是用不上的。
如果要談論現實中畫出的線的長度以及圖形的面積，那第一步要做的就是想清楚至少兩個問題：
- 這裡的「長度」和「面積」的操作性定義是什麼？
- 這些定義的適用範圍（尺度）是什麼？
現實中畫出的線（幾乎都）是有不為零的寬度的，因此即使是在未涉及到量子效應的尺度下其「長度」的操作性定義也不是顯然的。圖形面積也同理。
其次，當我們將精確度推向更小尺度以至於量子效應變得顯著時，由於畫線所用材料的分子原子等非基本粒子不具有非此即彼的絕對邊界，因此「長度」和「面積」的操作性定義仍然不是顯然的。
最後，即使我們想用粒子物理學目前所認為的真正的點粒子之一的電子來「畫線」，由於不確定性原理等限制，我們還是無法用電子「畫出」線和圖形來對「長度」和「面積」進行毫無爭議的測量。
這問題根本就是難得一批，難到幾乎沒有解決的希望因此不需要被刻意提出，現在應該是不存在任何能夠完整這個問題的理論吧，如果有的話一定是像萬有引力理論一樣幾乎人盡皆知了。
以上都是yy沒啥根據。
我將第一句話延伸為現實空間是連續的嗎？
物體的話有幾個物理學大佬已經答過了，我也絲毫不懂粒子物理。
下面進入正題：
物理學的核心/終極問題之一：空間的詮釋
在此感謝
George Musser
以及他的優秀作品
《Spooky Action at a Distance: The Phenomenon That Reimagines Space and Time--and What It Means for Black Holes, the Big Bang, and Theories of Everything, Farrar, Straus and Giroux.》
（尼瑪書名竟然這麼長？宛如《縫い上げ！脫がして？著せかえる!!彼女が高校デビューに失敗して引きこもりと化したので、俺が青春（ファッション）をコーディネートすることに。》）
中譯名為
《幽靈般的超距作用：重新思考空間和時間》
這本書主線在討論空間的兩大性質
定域性or非定域性，實在性or非實在性
定域性是指某個時刻，一個物體的位置是明確的。
實在性是指客觀世界不依賴於意識而獨立存在。
此外還有各種模型，各種假說，各種流派，各種撕逼（誤）。
然而最令我震驚的還是本來這個問題通過實驗結果以及簡單的邏輯分析已經有確定的答案了，然而正如下面百度百科所言：
這世界上真的存在邏輯正常的人面對正常邏輯得出的答案仍然不完全認同的情況，甚至是21世紀的一流物理學家們。。。。。。
這本書是我讀過的科普書籍中可謂極其專業的一本，非要比喻的話，作為科普的專業水平不遜於《什麼是數學》吧。深入淺出，幾乎沒有過多專業知識的要求，高中生水平即可掌握要點，推薦一讀，你想要的部分答案可能就在這本書中。
注1：此書作者本科讀的電氣工程師與數學，研究生階段是行星科學。
注2：這本將顛覆你的認知。
注3： 推薦頻道：PBS Spacetime中有對時空的許多基本概念與問題的視頻，可以說是十分專業的科普節目了。B站搬運並翻譯的造福人類的up如下：
至於別的一些問題，數學理論和現實的對應嘛。現在大部分數學研究的出發點和目的應該不是為了和現實對應，也應該不是為了解決物理模型遇到的數學問題，數學肯定是和現實世界有一些對應的，尤其是物理，至於對應了多少，到什麼程度可以去知乎上看看數學專業的大佬們對相關問題諸多分析。總之這個問題像是問一個職業廚師飛機開得怎麼樣一樣？
拋出幾個概念吧，你可以去試著了解這些概念的來龍去脈/歷史和意義，應該能幫得到你：
①衍射極限
②普朗克長度
③史瓦西半徑/黑洞
④主觀/客觀，唯物/唯心
⑤思維和存在的同一性
總之這個問題思考的角度很多
物理模型的角度：長度存在的合理範圍？
觀測的角度：長度可以被觀測到什麼程度？觀測可操作性？
哲學的角度：長度是否客觀存在？
等等
反正我是沒機會（部分）解決物理學終極問題了，各位有志於物理學研究的開拓者們加油。
PS：我的數學老師cb說現實空間是否是可定向的都沒有搞清楚。
你隨手畫一條線，線的長度以概率1是一個無理數
你畫一個圓，圓的面積以概率1是一個無理數
當然存在，最常見的例子，圓，如果一個圓的半徑是r，那它的周長就是2πr，面積就是πr^2，如果r是有理數，那麼它的周長和面積都是無理數。
你用圓規畫一個圓，它的周長就是無理數，你把它剪短展開，這條直線也是無理數。
理論本身的抽象性，註定了它必然與真實的現實世界有不一致的地方。
現實世界不存在任何一個物體具有完美的圓形；現實世界也沒有任何一個物體有一個準確的長度——粒子間必然存在相互運動，加上量子效應，物體任何一刻都不具有準確的長度。
因此，題主說，數學無法與現實生活相對應，只能是近似值，這是沒問題的。
事實上，由於我們不是現實世界的造物主，我們得到一個完全符合現實世界的理論的可能性，幾乎為零。我們所能做到的，只有逐漸用更精確更普適的理論，去逼近現實。
當我們總結出來了某一個理論的時刻，這個理論就過時了，等待它的是被更先進的理論取代，成為新理論的一個特例。
比如幾何學，一開始是平直空間的歐式幾何，後來則出現了彎曲空間的黎曼幾何。可以認為歐式幾何就是空間曲率為零時的黎曼幾何。而後來也證明，廣義相對論下的空間只能是非歐幾何空間。
再比如物理學，一開始是牛頓的經典物理，後來被相對論與量子力學取代。而經典物理學是這兩個理論低速宏觀下的近似。
而很明顯，隨著探索的深入，必然會有更為精確的理論出現。比如現代數學中，對於非線性系統以及離散系統的研究，而這些則是實際現實世界中真實的系統所具有的特徵。經典的數學理論更多研究的是連續線性的系統，這些系統雖然簡單，但是實際應用起來可能會引起較大的誤差。
-現實生活中存在無理數（長度、面積）嗎？
這個問題雖然奇怪，但是一個好問題。
答案已經有很多，但我發現有一件事許多答案提到了沒展開，另一些答案似乎本身對這件事的理解就有矛盾。
與這個問題相關的問題還有：
世界上是不是不存在完美的圓？?www.zhihu.com
人類的肉眼看見過真正的圓嗎？?www.zhihu.com直線是什麼，真正的存在嗎？?www.zhihu.com我相信一些人上小學時曾想到過類似問題，但可能後來就忘了，或者老師也說不清楚，或者許多人覺得幼稚，這事就這樣過去了。
這些問題的關聯在於，現實是什麼？什麼叫存在？理論和實際的關係是什麼？
有說這是個哲學問題（誰叫問題中提到了現實和存在的呢），但這裡也有一個不那麼虛的解釋：
現實究竟如何，人們在大部分歷史中是不知道的。1897年發現電子，1911年原子核才被發現。即使現在，人們也不能確信自己的科學理論是否就是「現實」。說不定在銀河系中心，各種物理常數和地球這兒的不一樣呢。
諸如brain in a vat這種更嚇人的事情，就不在這裡說了。
人們只不過可以通過不斷的測量，構建各種理論去逼近現實。所謂的逼近現實，也只是在說，可重複的測量結果離理論預測在測量誤差範圍內。
比如說一個球形的物體是個球，那現實中有哪個東西所有表面的點離中心的距離就等於半徑呢？
平常的球比如足球，表面的點離球心距離在5%之內，人就已經覺得它不是別的就是個球了。所以人眼觀測的誤差就在百分之幾這個水平。
原子的尺度約是0.1納米，如果仔細觀察，物質大都是不連續的，比如金屬顆粒小到納米級就很明顯不是球了。更大的物體也是類似，只不過不那麼明顯而已。
所以可以說，由原子構成的世界裡，是不存在完美的球的。直線也是同樣的道理。
其它答案也提到了，即使藉助儀器，人類的測量精度也到不了1e-20。計算機數值運算也全是有限小數。
所以無限小數、無理數，並不像許多人想像的那麼有用。
不要說現實中是否存在無理數，是不是存在無限小數，甚至是不是有無限這個東西都是個問號。畢竟有人推算宇宙也就1e80個原子。用雙精度浮點數表示在地球上的坐標就可以精確到納米了。
雖然圓、直線、無理數、無限這些東西在現實中可能不存在，但對於人類認識世界是有關鍵作用的。畢竟沒有 ，人們就沒法簡潔地說出來圓的直徑和周長是啥關係。測量也需要這樣一個精確的基準。
它們至少存在於人的腦袋裡，所以直接說它們不存在好像也不太對。有人直接給它們找了一個家，叫柏拉圖的形式世界（Platonic world of forms）
Theory of Forms?faculty.washington.edu或者叫，嗯，法界。
回到一開始的那個問題，理論與現實的關係。
現實和理論之間隔著一層測量，測量是有誤差的，這個誤差目前不會小於1e-20。
已知半徑求周長， 。乘以
求出的周長（circumference）是理論值，不是現實值。現實測量值總是一個包含不確定度的有限小數。
既然隔著這一層，那是怎麼也測不出一個無理數的，連無限小數也測不出來。
相比於認識現實，認識某個理論對於人來說容易得多。
謝邀
這題有點難。但是是難在找角度。雖然原則上，精度超過15位的數字都沒有什麼意義，因為目前的國際單位在定義的時候就沒有達到15位以上的精度，各地使用的儀器再精準也突破不了這個障礙，除非哪一天再次更新標準和測量方法。
一切的物理常數，都真正成了常數，被定義好的常數：真空光速c，普朗克常數h，玻爾茲曼常數k，以及。。。絕對零度零磁場環境下靜止的銫133原子基態的兩個超精細能階之間躍遷時所輻射的電磁波頻率 。我估摸著未來
也會被重新定義，如果不能的話，說明時間這個物理量有bug。
於是，除了一個電子的帶電量目前精確等於 ，一摩爾目前精確等於
個，其他的各種五個基本單位都不是「準確」的量，而是精確到xx位的量，由上述常數確定，這次ISO重新定義基本物理量的單位之後，數數的能力受到了空前的挑戰，基本上一切測量問題都成了數數的問題，數的精確，結果就精確，數的不精確，結果就不精確。
但是，這也只是說我們的測量達不到無限位數的精確。現實的存在呢，當精確給定一個物理量單位的時候，現實的存在能否具有無限位數精度的物理量呢？
首先，現實宏觀物體的長度、速度之類與空間坐標相關的量肯定不具備無限位數精度，物體由原子構成，宏觀物體的長度、位置都是由一堆原子的平均值所確定的，而沒有任何可能同時測量所有這些原子的空間坐標，信息的傳遞是需要時間的，具有三維尺度的宏觀物體，其位置坐標的精度不可能是無限位的，也便不可能是無理數。有時候連定義三維尺度的宏觀物體的邊界都是不可想像的困難，然而，日常生活中接觸到的現實存在都是具有三維尺度的。從這個意義上講，無限精度是不存在的，也便不存在無理數。
再者，現實時空上兩個無限小的抽象坐標之間的距離可能也不具備無限位數的精度，時空已經被證明是充滿了漲落的，並非是平坦的，抽象坐標之間的距離是會隨兩點之間的時空漲落而變化的，而且，現實宇宙並不是一個穩態宇宙，其時空不是穩定的，這也限制了空間坐標的精確度。因此，即使是抽象坐標之間的距離，在顯示時空之中也是不存在無限精度的。
隨手畫一條線，其長度註定是一個範圍。
而現實生活中的無理數吧，一方面可以用來簡化計算，另一方面在遇到數次（甚至數十次）迭代計算的時候，如果用精確數字，最後得到的就會是精確數字，如果用近似數字那最後結果的精度會慘不忍睹。尤其是對於不知道需要多少位精度的系統，先得到精確數字大概總是最優的方案。
數學是個工具，是對現實世界的抽象以及重構，當人們從現實中抽象出一類事物然後加以精確定義，現實中便不再具有這一類事物。比如說圓，直線，三角形；比如說e，π，無窮小。數學雖然對現實問題進行了抽象，但一個數學結論卻往往能解決一類現實問題，比如說椅子四條腿需要儘可能一樣長才能穩定，而三條腿就不必要。
嘛，不如來看看科學家們乾的事情吧，比數學家真好不到哪裡去：
長度-1米：很遺憾，「米」不是直接定義的，而是由光速和時間兩個物理量確定的，真空光速是規定好的，只要是在真空中永遠都是一個速度，nice！但絕對零度零磁場環境下，靜止的銫133原子基態的兩個超精細能階之間躍遷時所輻射的電磁波的周期的9,192,631,770倍的時間，這是個什麼鬼？以這個為標準哪兒來的準確時間尺度？上哪兒去找個絕對零度零磁場環境下靜止的銫133原子哦。
時間-1秒：上面說了定義，懂的都懂，絕對零度無法達到，所以對時間尺度的測量永遠無法準確。 下面那個表示銫133原子……電磁波的頻率。原則上，時間靠數數就能的出來，數9198631770次就是1秒。
質量-1千克：狗屎！狗屎！狗屎！我現在根本不知道1千克到底塔瑪的是多少物質！「一千克的定義是普朗克常數為 時的質量單位」？？？這是個啥？？？這是個啥？？？還有點人性嗎？？？目前ISO給出的標準質量測量方式：使用基布爾稱進行兩次測量，第一次在稱上放置標準質量（m）的物體，並在給稱下的長度為L，電阻為R的線圈加電壓U，在磁感應強度為B的固定勻強磁場中使得物體所受重力和電磁力平衡，此時有
；第二次測量，使用電機使線圈在勻強磁場中勻速（v）運動，此時線圈上的電壓
。兩式相除，得到
，這裡的電壓的伏特數值定義自約瑟夫森結電壓（
，一束頻率為f的光照射在超導-絕緣-超導結上時，在結的兩端產生的電壓
的整數倍），而電阻的歐姆數值定義自量子霍爾效應（
，接近絕對零度的低溫下，在巨大磁場作用下，導體的霍爾電阻是
的
倍，n為整數），於是，質量就可以由
來計算，普朗克常數h為固定數值，加速度和速度靠真空光速和時間（銫133原子……電磁波的頻率）測定，於是目前的千克也便是由普朗克常數，真空光速，以及銫原子……周期測定。於是……
溫度-1開爾文：K的定義現在和玻爾茲曼常數聯繫起來了，玻爾茲曼常數現在是一個精確值了。
照度-1坎德拉：我不用這個單位的，誰愛用誰用吧。。。
就醬。
現實生活中，無論取什麼樣的單位，空間的長度與面積都可以是無理數。
當我朝前走了3長度單位，我已經走過了e長度單位而並沒有撞在撕裂的空間上。雖然不能絕對精確地量出e單位長的空間，但e單位長的空間是存在的。
其他的非實體當然也可以。路燈下我的影子有3米長的時候裡面有一段是e米長，有一塊範圍是二分之根號2平方米。
而且，長度和面積的單位是人為設定的。我們可以任意取一段長度並設其為e個單位A，任意畫一個圓設其面積為π個單位B。
現實物體沒有絕對精密的尺寸。物體的分子間距很大且在做無規則熱運動，原子核相對於原子也非常微小，原子核與電子遠沒有壓縮在一起，原子核內部也不是鐵板一塊。基本粒子也不是一個個剛性小球，而是具有波動性的，畫成球主要是表達各向同性。
要精密測量現實物體的長度也就是測量構成它的粒子的尺度範圍，需要發射粒子（通常是電子或光子）。為了測得精確，需要將發射的粒子的波長壓縮得儘可能接近目標粒子的波動範圍、用波谷去包夾，而波長越小粒子的能量越大。當能量大到一定地步，發射的粒子打在目標粒子上能炸出和目標粒子同種類的粒子而造成混亂（此時該粒子的波長叫做康普頓波長，是測量粒子位置的基本限制）。如果強行要測上百位有效數字，粒子能量會大到打出黑洞而無法測量。
對常見謬誤的說明：
「空間不是連續的」——目前看來空間是連續的。「空間和時間的不連續性」是小眾理論，大多數現存物理學理論建立在時間·空間連續的數學模型的基礎上。
「空間的最小單位是普朗克長度，空間是一份份的」——空間並沒有以普朗克長度為單位分斷。普朗克質量是史瓦西半徑與康普頓波長相當的黑洞的質量，該黑洞的史瓦西半徑是普朗克長度，表示的是探測的極限。上面已經簡單介紹過探測粒子尺度的限制了。
有答說「隨便一畫就是無理數」，這是沒畫過啊，也許有答真是對的，但在現實中沒辦法證實(測量+計算)那隨便一畫的是一個無理數。其實，現實中的測量總是不得不在小數點後某一位停下來，這個小數點後不再延長的數字才是你能測量得到的值，也才是能夠計算用的值。
能(不得不)「停下來」了，這數字就沒「無理數」什麼事了。
這是一個有理數的世界，任何測量和計算若要有結果，只能靠有理數，只能得到一個有理數的結果。
考慮到有理數的測度……當你規定一個現實的「長度」為有理數時，你找到另外一個有理數的概率是0。
的確，按照普朗克長度來說，現實生活中的任何物質都有確定的尺寸，而且最多也就是小數點之後三十多位罷了。換算到面積，也就是六十多位。這是現實世界的解析度問題。
這個很難說……畢竟無理數只是理想的數學上的東西，它是為了填補實數系引入的。真實物體在很小的尺度下談及其測度已經沒意義了，而無理數要求無限不循環。所以可以認為在一定精度範圍內這些物體的測度都是有限位小數。就像現在的計算機精度再高也不能真正計算無限小數一樣。
謝邀。
這問題太難了，建議閱讀《高觀點下的初等數學》
你這個問題毫無意義
生活中所有不可數名詞的事物從來用的都是保留數，例如你不會買根號2米布，只會說買1.41米布。
畫一個圓，它的面積和直徑比值是無理數。從這個角度說，無論半徑多少，面積和直徑至少有一個是無理數。
但相對論告訴我們，世界上存在最小的長度——普朗克長度，1.6e-35米，有意義的可測最小長度，從這個角度說，長度不可能有無理數，它必須是普朗克長度的整數倍。
而事實上，現實中畫一個圓，永遠不可能是完全標準的圓，筆的粗細就遠大於普朗克長度。
在數軸上，無理數和有理數完全無縫地排滿。一個有理數或無理數，改變一個最小的數值，都越過了無數有理數和無理數，那麼這個長度到底位於哪個點上呢？
現實生活是物理世界，由量子論，長度是有最小單位的，因此，不存在無理數。
首先，一條線的「長度」，在有理數無理數的層面上真的有意義嗎？在微觀層面上，物質並不是連續的，因此你所說的長度，只不過是一段空間距離而已。
其次，對於這樣的一段空間距離，討論它「到底」是什麼長度完全沒有意義。我們只關心我們「測量」到的長度。目前，包括可見的未來，我們都無法測出無理數的長度。我記得初中就有過這樣的要求，答案如果沒有特殊要求，必須化為小數，不準保留根號。
最後，測不出，就意味著構造不出嗎？提供一個方法：隨便畫條線，順著這條線往前跑。根據相對論洛倫茲變換，你會認為這條線的長度是原來的1/【(1-v^2/c^2)1/2】倍。也就是說，現實中，你認為這條線（這段距離）是無理數的期望很大。
不過還是測不出來。所以其實沒用。
當然，任何物體的長度和面積都是無理數，整數只是人對物理概念的理想化，比如1米8的身高你能確定？難道不是1.8006732179......米？
物理學首先要學習的就是測量，測量的基本概念之一就是精度和估算位。所以如果以物理世界來說，並不存在無理數，數都有精度，不會無限不循環。
有人會說，估算是因為你測量精度有問題，只能做估算，但是事實上物理量是客觀存在的，有可能是無限不循環小數，但是根據量子理論，世界並不是連續的，在時間和空間上都是有最小單位的，所以也不存在無理數。
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