【物理学家的数学工具箱】之矢量分析(2)

2. 矢量的分量

目前为止, 我们还没有在一个坐标系中讨论矢量. 虽然矢量的运算和定义都独立于任一坐标系, 但是终将用其解决实际问题, 因此我们要选择一个坐标系.

首先, 选择我们熟悉的直角坐标系. 为了简单, 先将自己限制在二维系统中, 即平面, 再推广到三维系统. 设有一个矢量 , 将它的起点放在原点, 其沿著轴和轴的投影称为的分量, 分别记为和 . 的大小是 $sqrt{A_x^2+A_y^2}$ , 方向用其和轴的夹角表示: .

因此, 我们可以从分量的角度来定义一个矢量, 有

${f A}=(A_x, A_y),$

更一般的三维情形下, 有

${f A}=(A_x, A_y, A_z).$

可以用三维直角坐标系证明 ${f A}=sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.$ 要注意到的是, 矢量本身与坐标系无关, 但其分量则依赖于具体的坐标系.

根据以上的讨论, 我们现在可以把矢量运算都写成分量的形式, 例如标量乘法写为

向量加法为

通过对应坐标轴分量相乘再求和, 得到点积

对于叉积则要引入基底矢量的概念.

3. 基底矢量

基底矢量是一组正交的(相互垂直)的单位矢量, 一个基底矢量对应一个维度. 对于三维直角坐标系, 其三个基底矢量分别沿著三个坐标轴. 我们使用来分别表示轴, 轴和轴的基底矢量.

基底矢量具有如下性质, 你可以试著自己进行证明:

$egin{align*} hat{mathbf{i}}cdothat{mathbf{i}}&= hat{mathbf{j}}cdothat{mathbf{j}}= hat{mathbf{k}}cdothat{mathbf{k}}=1\ hat{mathbf{i}}cdothat{mathbf{j}}&=hat{mathbf{j}}cdothat{mathbf{k}}=hat{mathbf{k}}cdothat{mathbf{i}}=0\ hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{j}}&=hat{mathbf{k}}\ hat{mathbf{j}} imeshat{mathbf{k}}&=hat{mathbf{i}}\ hat{mathbf{k}} imeshat{mathbf{i}}&=hat{mathbf{j}}. end{align*}$

因此, 我们可以用分量和基底矢量来表示任意三维矢量:

$mathbf{A}=A_xhat{mathbf{i}}+A_yhat{mathbf{j}}+A_zhat{mathbf{k}}.$

为了得到一个矢量在任意方向的分量, 只需用那个方向的基底矢量进行点积. 例如, 矢量的轴分量为

$A_z=mathbf{A}cdothat{mathbf{k}}.$

在推导两个矢量对于其分量的叉积结果的一般规则方面, 基底矢量非常有用:

$mathbf{A imes B} = (A_x{hat{ mathbf i}}+A_y{hat{mathbf j}}+A_z{hat{mathbf k}}) imes (B_x{hat{mathbf i}}+B_y{hat{mathbf j}}+B_z{hat{mathbf k}}),$

考虑第一项:

$A_xmathbf{hat{i}} imesmathbf B=A_xB_x(hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{i}})+A_xB_y(hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{j}})+A_xB_z(hat{mathbf{i}} imeshat{mathbf{k}}).$

由于且 ,得到

$A_xhat{mathbf{i}} imesmathbf{B}=A_x(B_yhat{mathbf{k}}-B_zhat{mathbf{j}}).$

类似地, 对剩下的两个分量进行运算, 得到

$egin{align*} A_yhat{mathbf{i}} imesmathbf{B}&=A_y(B_zhat{mathbf{i}}-B_xhat{mathbf{k}})\ A_zhat{mathbf{i}} imesmathbf{B}&=A_z(B_xhat{mathbf{j}}-B_yhat{mathbf{i}}). end{align*}$

我们通常用三阶行列式来进行记忆它

$egin{align*} mathbf{A} imesmathbf{B}&= egin{vmatrix} hat{mathbf{i}} & hat{mathbf{j}} & hat{mathbf{k}}\ A_x & A_y & A_z\ B_x & B_y & B_z end{vmatrix}\ &=(A_yB_z-A_zB_y)hat{mathbf{i}}-(A_xB_z-A_zB_x)hat{mathbf{j}}+(A_xB_y-A_yB_x)hat{mathbf{k}}. end{align*}$