薛定諤方程初論

How did Schr?dinger derive it? The famous physicist Richard Feynman considered this a futile question: "Where did we get that [equation] from? Its not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schr?dinger."

也就是說，薛定諤方程是無法進行數學證明的，它就是一種猜測或者說是基本假設。

早在1926年，薛定諤就發表了現在以他名字命名的著名方程。引導他發現方程的方法是通過與光學進行類比。

雖然19世紀的物理學家認為光是由波組成的，但是他們並沒有總是用成熟的波動計算技術去獲知發生的情況。如果與定義問題的尺寸相比，光的波長較小，就有可能引入一個極其簡單的方法。這個方法就是幾何光學。幾何光學把光視為按直線傳播，並按照簡單的規則進行反射和折射的射線。今天中學物理中基本的稜鏡和平面鏡系統的計算就是按照相同的方式在進行，計算者根本不需要擔心複雜的波動方程。應用在光上的射線光學是比較簡單的，類似於在質點力學中畫軌跡。如果質點力學僅僅是更基礎的波動力學的一個近似，薛定諤認為波動力學可以通過逆向思考來發現，類似於從波動光學導出幾何光學。按照這個方法，他發現了薛定諤方程。

薛定諤方程描述的是一種幾率波。然而當量子力學展示出幾率特徵時，德布羅意和薛定諤兩人都對量子物理大失所望。

幾率解釋暗示著，測量時刻必須是瞬間的、不連續改變的時刻。如果電子處於一個狀態，它的幾率分散到「這兒」「那兒」，又或者是「任何地方」，當測量它的位置並發現在此之際它在「這兒」時，電子的幾率分布就會突然改變，變得僅僅集中在測量的確切位置「這兒」。既然幾率分布是從波函數計算出來的，波函數也必須不連續地改變，這是薛定諤方程本身並沒有揭示出的一個行為。這種突然改變的現象稱為波包坍塌，是一個額外條件，必須從外部強加到理論上。然而，薛定諤對它滿懷厭惡，他說，如果知道自己的想法將會引起這個「該死的量子跳躍」，寧願當初沒有發現他的方程！

在第一個量子化形式（其中作用(action)是而非場的函數）中，路徑積分（path integral）形式為我們提供了一個額外的好處：它給出了薛定諤方程的推導。通常，量子力學的導論課一開始都假定薛定諤波動方程。某些約定，例如x和p的量子化，似乎相當隨意。後來才出現了概率解釋。這裡，我們次序顛倒：我們先從量子力學的概率假設開始，推導出薛定諤波動方程，從而為該方程提供一種新的物理解釋。

在路徑積分方法中，一個狀態（state）的演化由遷移函數（transition function）K(b, a)給出。從經典角度來看，這可以被視為惠更斯原理的類比，其中波的演化可以通過假設沿著波陣面（wave front）的每個點發射一個新的波陣面來確定。所有這些無窮小波陣面的積分然後給我們提供了波陣面的整體演化。在數學上，這是由下式給出的：

$psi(x_j, t_j) = int_{-infty}^infty K(x_j, t_j;x_i, t_i) psi(x_i, t_i) dx_i$ (8.34)

早些時候，假設只有拉格朗日量，我們得出了非相對論（nonrelativistic）遷移函數的表達式。現在，讓我們計算波陣面是如何隨著這個遷移函數移動的。從t到的時間演化，由下式給出：

$psi(x, t + epsilon) = int_{-infty}^infty A^{-1} exp left( frac{i m (x - y)^2}{2 epsilon} ight) psi(y, t) dy$ (8.35)

其中

$A = left( frac{2 pi i epsilon}{m} ight)^{1/2}$ (8.36)

為了進行這個積分運算，讓我們將替換成，其中：

$psi(x, t + epsilon) = int_{-infty}^infty A^{-1} e^{i m eta^2/2 epsilon} psi(x + eta, t) deta$ (8.37)

現在等式左邊對t做泰勒展開，而等式右邊對做泰勒展開：

$psi(x, t) + epsilon frac{partial psi}{partial t} = int_{-infty}^infty A^{-1} e^{im eta^2 /2 epsilon} imes left( psi(x, t) + eta frac{partial psi}{partial x} + frac{1}{2} eta^2 frac{partial^2 psi}{partial x^2} ight) deta$ (8.38)