薛定谔方程初论

How did Schr?dinger derive it? The famous physicist Richard Feynman considered this a futile question: "Where did we get that [equation] from? Its not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schr?dinger."

也就是说，薛定谔方程是无法进行数学证明的，它就是一种猜测或者说是基本假设。

早在1926年，薛定谔就发表了现在以他名字命名的著名方程。引导他发现方程的方法是通过与光学进行类比。

虽然19世纪的物理学家认为光是由波组成的，但是他们并没有总是用成熟的波动计算技术去获知发生的情况。如果与定义问题的尺寸相比，光的波长较小，就有可能引入一个极其简单的方法。这个方法就是几何光学。几何光学把光视为按直线传播，并按照简单的规则进行反射和折射的射线。今天中学物理中基本的棱镜和平面镜系统的计算就是按照相同的方式在进行，计算者根本不需要担心复杂的波动方程。应用在光上的射线光学是比较简单的，类似于在质点力学中画轨迹。如果质点力学仅仅是更基础的波动力学的一个近似，薛定谔认为波动力学可以通过逆向思考来发现，类似于从波动光学导出几何光学。按照这个方法，他发现了薛定谔方程。

薛定谔方程描述的是一种几率波。然而当量子力学展示出几率特征时，德布罗意和薛定谔两人都对量子物理大失所望。

几率解释暗示著，测量时刻必须是瞬间的、不连续改变的时刻。如果电子处于一个状态，它的几率分散到「这儿」「那儿」，又或者是「任何地方」，当测量它的位置并发现在此之际它在「这儿」时，电子的几率分布就会突然改变，变得仅仅集中在测量的确切位置「这儿」。既然几率分布是从波函数计算出来的，波函数也必须不连续地改变，这是薛定谔方程本身并没有揭示出的一个行为。这种突然改变的现象称为波包坍塌，是一个额外条件，必须从外部强加到理论上。然而，薛定谔对它满怀厌恶，他说，如果知道自己的想法将会引起这个「该死的量子跳跃」，宁愿当初没有发现他的方程！

在第一个量子化形式（其中作用(action)是而非场的函数）中，路径积分（path integral）形式为我们提供了一个额外的好处：它给出了薛定谔方程的推导。通常，量子力学的导论课一开始都假定薛定谔波动方程。某些约定，例如x和p的量子化，似乎相当随意。后来才出现了概率解释。这里，我们次序颠倒：我们先从量子力学的概率假设开始，推导出薛定谔波动方程，从而为该方程提供一种新的物理解释。

在路径积分方法中，一个状态（state）的演化由迁移函数（transition function）K(b, a)给出。从经典角度来看，这可以被视为惠更斯原理的类比，其中波的演化可以通过假设沿著波阵面（wave front）的每个点发射一个新的波阵面来确定。所有这些无穷小波阵面的积分然后给我们提供了波阵面的整体演化。在数学上，这是由下式给出的：

$psi(x_j, t_j) = int_{-infty}^infty K(x_j, t_j;x_i, t_i) psi(x_i, t_i) dx_i$ (8.34)

早些时候，假设只有拉格朗日量，我们得出了非相对论（nonrelativistic）迁移函数的表达式。现在，让我们计算波阵面是如何随著这个迁移函数移动的。从t到的时间演化，由下式给出：

$psi(x, t + epsilon) = int_{-infty}^infty A^{-1} exp left( frac{i m (x - y)^2}{2 epsilon} ight) psi(y, t) dy$ (8.35)

其中

$A = left( frac{2 pi i epsilon}{m} ight)^{1/2}$ (8.36)

为了进行这个积分运算，让我们将替换成，其中：

$psi(x, t + epsilon) = int_{-infty}^infty A^{-1} e^{i m eta^2/2 epsilon} psi(x + eta, t) deta$ (8.37)

现在等式左边对t做泰勒展开，而等式右边对做泰勒展开：

$psi(x, t) + epsilon frac{partial psi}{partial t} = int_{-infty}^infty A^{-1} e^{im eta^2 /2 epsilon} imes left( psi(x, t) + eta frac{partial psi}{partial x} + frac{1}{2} eta^2 frac{partial^2 psi}{partial x^2} ight) deta$ (8.38)