n階行列式的計算方法
考試前突擊總結一下！希望能有點幫助
n階行列式的計算
一、基本方法
1.用n階行列式定義計算。
當題目中出現低階行列式，如二階或三階。
當出現特殊結構
2.用n階行列式的性質，將一般行列式轉化為上（下）三角行列式
如行列互換，行列倍乘倍加，行列相同或成比例，對換位置符號改變
3.用n階行列式的展開定理
一般思想為降階，按某一行或某一列展開
4.其他技巧
遞推、數學歸納法、加邊法、拆項法、利用范德蒙行列式的結論
二、例題
1. 利用范德蒙行列式
范德蒙行列式：
對任意的 n（n≥2），n階范德蒙德行列式等於a1，a2，...，an這n個數的所有可能的差ai-aj（1≤j<i≤n）的乘積
變形：
各行元素是一個數的不同方冪，方冪次數遞升，但是是從1遞升至n-1，標準形式應為從0遞升至n。
方法：提取每一行公因子，轉化為標準形式
此時右端行列式為范德蒙行列式的轉置，由范德蒙行列式定義可得
練習：
思路：依次將上一行的-1倍加到下一行，得到范德蒙行列式
2. 加邊法（升階法）：在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變
特徵：行列式每行或每列除對角線上元素外分別是某些數的同一倍元
e.g.
觀察可知，除對角線元素外，其他各行各列的元素都是同一元素的同一唄元
以第一列舉例，除x1外，各列依次是a1的bi倍
加邊得
用第一行的-bn倍加到下面的行得
此時原行列式轉化為箭形（爪形）行列式，可由箭形行列式方法計算
箭形行列式的計算會在下面提到。
練習：
觀察可知，除對角線元素外，每一列都是一個數的同一倍元
每一行元素減去第一行元素得
轉換為箭形行列式計算
3. 箭形（爪形）行列式
特徵：兩邊加一條對角線
計算目標：將第一行或第一列除a11以外元素全化為0
e.g.
當ai不等於0，將行列式中i=1列乘以-ci/ai後加到第一列，可將第一列其他元素全化為零。
4. 拆項法計算特殊行列式
特點：主對角線的上下方元素分別相同，符號相反
思路：將左上角x改寫為（x-a）+a,第一列-a改寫為0+（-a），則第一列各元素均為兩項之和
由行列式的性質可拆分成兩個行列式
K
第一個行列式由遞推公式計算，第二個行列式每一行分別加第一行，再根據第一列展開
可得
此時重新拆分，令第一行x=（x+a）-a
同理
可得Dn=
由Dn的兩個表達式中消去Dn-1
練習：
觀察此行列式，需對一般方法進行變形，考慮到等會兒會用到遞推，所以此時拆項不應該從a11開始，應從ann開始
觀察左邊行列式可以根據遞推，右邊行列式第n列全為a，可考慮提取a
右邊行列式每下面一行減去上面一行得
Dn=
又由行列式得轉置與原行列式相等，將a,b換位
根據Dn的兩個表達式消去Dn-1即可
Dn=
注意，需討論a是否與b相等
5. 三對角線形行列式
特點：主對角線與上下兩條對角線組成
計算目標：將對角線上下兩條線中某一條的元素全化為0
或使用遞推法
e.g.
思路，用下面每一行乘以第一行的倍數相加，使最下面對角線元素均為零
如第二行加第一行的-1/2倍，第三行加新第二行的-2/3倍
最終得到
易知Dn=n+1
先總結這麼多啦，之後想到其他的再補充！
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