極限類題之利用兩個重要極限

兩個重要極限，是人們總結出的非常有用的結論. 許多題目都可以轉化到它們身上.

1. $lim_{x ightarrow 0}{frac{sinx}{x}}=1$

這個重要極限的框架是： $lim_{x ightarrow riangle}{frac{sindiamond}{diamond}}=1$ 只要兩個

里的形式完全一致，並且 x 的趨向方式能使得兩個

都趨於零，那這個極限就等於 1. 在課本上，這個極限是用夾逼準則證明的，這也是最佳的證明方法. 我們最好不要用洛必達法則，因為在使用洛必達法則時，會遇到 sin x 的求導問題，我們現在當然知道 sin x 的導數是 cosx ，但是事實上(sinx）『=cosx正是利用這第一個重要極限證明的. 所以一旦用洛必達法則證明了第一個重要極限，會產生循環論證的問題.當我們遇到有關三角函數的極限時，要善於往這個重要極限身上考慮，畢竟這個重要極限就是關於三角函數的嘛. 因為這個重要極限中只有正弦，所以當遇到切函數（正切餘切）和割函數（正割餘割）的時候，要嘗試一下能不能通過「切割化弦」，即利用「 $tanx=frac{sinx}{cosx},cotx=frac{cosx}{sinx},secx=frac{1}{cosx},cscx=frac{1}{sinx}$ "來解決問題. 而對於餘弦，則可以考慮用二倍角公式的變形 $cosx=1-2sinwedgefrac{x}{2}$ 來換走它. 當然，我們也不能不管三七二十一地一換了之，有些本不必換走就能做出來的，如果強行換走，會南轅北轍. 所以你的變形一定要有目的地進行，不能亂變一通。下面看一個例題：

還有一個值得注意的例題，極限 $lim_{x ightarrow 0}{}frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{x}$ 是不是等於 1 呢？它看起來

確實非常符合上述框架，但它也確實不等於 1. 但是根據函數在 $x_{0}$ 時的極限的 ? ? ? 定義，函數 f（ x ）在點 $x_{0}$ 的某一去心鄰域內有定義，而對於那些在去心鄰域內沒有定義的函數，是不能討論極限的. 這個極限 $lim_{x ightarrow 0}{}frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{x}$ 的分子上有一個 $sinfrac{1}{x}$ 在 0 x ? 時能夠非常頻繁地取到零值，而且 x 越趨於 0， $sinfrac{1}{x}$ 越頻繁地等於 0， $lim_{x ightarrow 0}{}frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{x}$ 越頻繁地無意義，在 x=0?的任何一個去心鄰域內都無法保證一直有意義，所以這個極限是不符合函數極限的定義的. 因此 $lim_{x ightarrow 0}{}frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{x}$ 不存在.

2. $lim_{x ightarrow infty}{(1+}frac{1}{x})^{x}=e$ 或者 $lim_{x ightarrow 0}{(1+x)}wedgefrac{1}{x}=e$

這個重要極限的框架是 $lim_{a ightarrow Delta}{(1+frac{1}{diamond})^{diamond}=e}$ . 只要兩個里的形式完全一致，並

且 x 的趨向方式能使得兩個都趨於無窮，那這個極限就等於 e .當我們看到指數上含有 x 的時候，要善於往這個重要極限身上想. 不過有時候這個指數是「隱形」的，打眼一看沒有指數，比如 $lim_{x ightarrow 0}{frac{ln(1+x)}{x}}$ .這的確沒有指數，但是我們通過對數的運算性質，就能變出指數：

還是mythtype打的舒服。有時候對數真的挺神奇的~（這道題可不可以用等價無窮小呢？對這道題而言，最好不要，因為既然讓你做這道題，應該出題者的意思是讓你證明它倆是等價無窮小. 你都不知道這個極限是 1，怎麼知道它倆是等價無窮小呢？）

還有的時候，括弧裡面並不是 $1+frac{1}{diamond}$ 的形式，這就需要我們湊出來. 怎麼湊呢？首先，如果沒分離常數就先分離常數. 分離完常數以後，把分離剩下的那個分式取個倒數放在分母上，應該就是一個 $1+frac{1}{diamond}$ 的形式（一般你分出的常數都是 1）. 比如

接下來處理指數. 首先要把指數變成跟剛才分母上一樣的形式，然後再看看跟原本的指數有什麼變化，多加了再減掉，多乘了再除掉.比如 $lim_{x ightarrow infty}({frac{x-2}{x+3}})^{x}$ .通過剛才的分離常數，我們變形成了 $lim_{x ightarrow infty}({1+frac{1}{frac{x+3}{-5}}})^{x}$ .所以我們先暫時寫成 $lim_{x ightarrow infty}({1+frac{1}{frac{x+3}{-5}}})^{}frac{x+3}{5}$ ,再跟 x 作比較，發現這個指數比 x 多加了 3，多除以了 5. 所以應該倒回去就應該是