第三章微分中值定理与导数应用第二节洛必达法则

1、 $frac{0}{0}$ 型未定式的洛必达法则

设函数f(x)，F(x)满足一下条件：

（1） $lim_{x ightarrow x_{0}}{f(x)}=0$ ； $lim_{x ightarrow x_{0}}{F(x)}=0$ ；

（2）在点x0的某一区新领域内，f(x)和F(x)都存在，且F(x)≠0

（3）极限 $lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}$ 存在。

则有 $lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}=lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}$

2、 $frac{∞}{∞}$ 型未定式的洛必达法则

设函数f(x)，F(x)满足一下条件：

（1） $lim_{x ightarrow x_{0}}{f(x)}=∞$ ； $lim_{x ightarrow x_{0}}{F(x)}=∞$ ；

（2）在点x0的某一区新领域内，f(x)和F(x)都存在，且F(x)≠0

（3）极限 $lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}$ 存在。

则有 $lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}=lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}$

3、洛必达法则的使用说明：

（1）洛必达法则只能直接对 $frac{∞}{∞}$ 型和 $frac{0}{0}$ 型未定式使用。

（2）洛必达法则的条件是充分而非必要的，在求 $frac{∞}{∞}$ 型和 $frac{0}{0}$ 型未定式极限值 $lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}$ 时，只要 $lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}$ 存在或∞，就有 $lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}=lim_{x ightarrow x_{0}}{frac{f(x)}{F(x)}}$ 。