在工作中計算經濟數值的時候，經常會遇到需要計算各種事件完成期望的工作（比如計算集齊一套特定的卡牌搭配需要抽多少次……）。本文就介紹一種比較快捷的計算方法。

一般來說，計算期望有以下幾種方法：

依據期望的定義式，套用某些概型公式，數學推導計算期望。

這種方法需要解題靈感，有了靈感五分鐘就解出來，沒思路的話就要卡很久。工作中不是很推薦這種方法，因為工作需要穩定的產出。

用vba寫程序模擬事件過程，跑很多次模擬期望次數。

這種穩定是達到了，但就是很麻煩，而且有的事件自己用vba寫出來的難度幾乎相當於重構了一遍項目對應模塊的代碼。

寫出該事件的狀態轉移矩陣，再用VBA處理求出具體期望。

以下介紹這種方法。

什麼是狀態轉移矩陣

就是一個矩陣，裡面的元素都是非負的，且各行元素之和為1.

舉個例子：
某個裝備有+0，+1，+2三種狀態。
+0強化至+1，成功率50%，失敗後等級不變。
+1強化至+2，成功率40%，失敗後等級下降至+0。
求由+0強化至+2的次數的期望值。

則該事件的一步狀態轉移矩陣可以寫為：

該事件的一步狀態轉移矩陣

第一列第一行的0.5代表，強化一次從狀態+0變為狀態+2的概率為0.5,
同理，第i列第j行的元素即代表強化一次從狀態i變為狀態j的概率。
一步狀態概率矩陣我們可以依照給定的情況很方便的寫出來。

什麼是K步狀態轉移矩陣

k步狀態轉移矩陣即為一步狀態轉移矩陣的K次方

矩陣的乘法規則自己百度。

舉個例子：
該事件的則該事件的二步狀態轉移矩陣可以經計算得到：

該事件的二步狀態轉移矩陣

第i列第j行的元素即代表強化二次從狀態i變為狀態j的概率。
可以看到，強化二次從狀態+0變為狀態+2的概率為0.2

同理我們可以獲得強化K次從狀態+0變為狀態+2的概率。

由期望定義式可知：

E（X）=sum_{k=1}^{infty}{XkPk}

Xk=K

Pk=[K步狀態轉移矩陣中的Pij]-[K-1步狀態轉移矩陣中的Pij]

然後累加即可。

之所以Pk=[K步狀態轉移矩陣中的Pij]-[K-1步狀態轉移矩陣中的Pij]，是因為[K步狀態轉移矩陣中的Pij]包含了[K-1步狀態轉移矩陣中的Pij]，減去後才是僅經過K次強化後強化至+2的次數。

（其實就是一個概率分布函數）

Pij的值最終會收斂於1

用VBA計算上述過程，代碼如下（我寫的程序比較糙，屬於能跑起來的那種）：

Sub Matrix()
Dim i, j, k, a(1 To 10000, 1 To 10, 1 To 10), b(1 To 10000, 1 To 10, 1 To 10), p(1 To 1000), e(1 To 1000)

For i = 1 To 3 一步轉移矩陣寫入
For j = 1 To 3
a(1, i, j) = Cells(i + 3, j + 2)
Next j
Next i

p(1) = 0

For k = 2 To 1000 K步轉移矩陣計算
For i = 1 To 3
For j = 1 To 3

a(k, i, j) = a(1, i, 1) * a(k - 1, 1, j) + a(1, i, 2) * a(k - 1, 2, j) + a(1, i, 3) * a(k - 1, 3, j)

Next j
Next i
p(k) = a(k, 1, 3) Pk=[K步狀態轉移矩陣中的Pij]
Next k

e(1) = 0

For k = 2 To 1000
e(k) = e(k - 1) + k * (p(k) - p(k - 1)) 累加求和求得最終期望值
Next k

MsgBox e(1000)

End Sub

輸出結果為：

即E（x）=7.5

我們用另一種方法驗算一下。

設裝備從等級k-1強化到等級k的期望是E(k)，每次強化成功概率是p1，不變概率是p2，掉級概率是p3。

現在分析從k-1級強化到k級的過程的幾種情況

情況一：一次成功，由於成功的概率是p1，強化到k級花費的次數是1，這種情況下需要次數的期望是1 * p1 = p1。

情況二：不變，等級不變又回到從k-1級強化到k級的過程，不變概率是p2，強化到k級花費的次數是1 + E(k)（1代表強化等級不變消耗的次數，E(k)是從k-1級到k級的期望），這種情況下需要次數的期望是(1 + E(k)) * p2。情況三：掉1級，掉1級變成需要從k-2級強化到k-1級，再從k-1級強化到k級，掉級概率是p3，強化到k級花費的次數是1 + E(k - 1) + E(k)（1代表強化掉級，E(k - 1)是從k-2級到k-1級的期望，E(k)是從k-1級到k級的期望），這種情況下需要次數的期望是（1 + E(k - 1) + E(k)) * p3。綜合上述三種情況，裝備從等級k-1強化到等級k的期望E(k) = p1 + (1 + E(k)) * p2 + （1 + E(k - 1) + E(k)) * p3。再加上初始條件E(0) = 0，就可以求出E(1)、E(2)....E(n)，把E(1)、E(2)....E(n)加起來就是從0級到n級的期望了。

求得E（1）=2，E（2）=5.5

則E（x）=7.5

一致。

因為遊戲中的過程狀態都是離散的，所以這個方法基本可以處理所有的求期望相關的問題，只需要把一步狀態轉移矩陣寫出來就行。

於是我們就可以處理各種騷問題了，比如打boss會有50%隨機掉ABC中的任意一個裝備，已知在已持有A的時候B的掉率會下降5%，但持有B的時候C的掉率上升5%，balabalabalabala，問集齊一套ABC期望打多少次boss。

這種問題用概型解或者用寫程序跑都是及其痛苦的。但是我們可以快速的列出一步狀態轉移矩陣，用vba快速解出答案：

這種情況下，會有以下狀態：都沒、只有A、只有B、只有C、只有AB、只有AC、只有BC、都有，其一步狀態轉移矩陣是一個7*7的矩陣，你們可以試著寫一下，然後用本文的演算法算一下，很快就能求出從狀態【都沒】到狀態【都有】的次數期望。

我發現了一種更簡單的辦法

mathematica中有內置的離散馬科夫過程函數，可以進行快捷的計算：

第一步：列出一步狀態轉移矩陣

第二步：在Mathematica中讀取一步狀態轉移矩陣

xlsxPath= "C:UsersAdministratorDesktop一步狀態轉移矩陣.xlsx";

m =Import[xlsxPath, "Data"][[1]][[2 ;; 4, 2 ;; 4]]

第二行從指定excel讀取數據，2;;4表示2~4行，2;;4表示2~4列(這是直接讀取xlsx文件的寫法，若使用mathematica link for excel載入宏，可以使用Excel[「A1:C1」]這種更好理解的語法)

第三步：定義一個馬爾科夫過程:

markovProcess = DiscreteMarkovProcess[1,m];

· DiscreteMarkovProcess(Mathematica內置的離散馬科夫過程函數)，接收2個參數：初始狀態和狀態轉移矩陣

· 賦值這個離散馬科夫過程到變數markovProcess

Mean[FirstPassageTimeDistribution[markovProcess,10]]

Mean用於計算分布的期望值

markovProcess = DiscreteMarkovProcess[1,m];
Mean[FirstPassageTimeDistribution[markovProcess,3]]

輸出結果為7.5


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