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在开始沿著重整化群（RG）路线攀登湍流之前，我们有必要首先对这条路线建立一个定性的物理理解. 通常情况下，铁磁相变中的Ising model是介绍RG基本思想的一个常见toy model. 但是为了避免偏离这一系列笔记的主题，我们将直接从这个流体专栏的读者非常熟悉的大涡模拟（LES）自然地引入RG的概念.

从物理的角度上看，流体的大涡模拟所追求的是用一个低维动力系统去表达高维动力系统。不惜工本的话，我们当然可以选择一个最开挂的办法：跑一个巨高解析度的DNS，并在每一时间步输出粗粒化的结果，使得从外界观察起来像是低解析度下进行的模拟。

从DNS平均得到的「伪LES」

显然，这种开挂方法的睿智程度不亚于为了上楼先登月。稍微动点脑筋的做法是在对DNS进行粗粒化的时候，至少以一种恰当的方式「学习」这些丢失的自由度所带来的影响。这样在重新跑一遍这个case的时候，我们就可以通过模拟低维方程+修正的方式来获得同样的结果。上述过程可以用算符形式的N-S方程抽象地表示为

L^-{mathbf{hat{u}}^-}=P^-{ mathbf{hat{u}}^-*mathbf{hat{u}}^-}+S^-(mathbf{hat{u}^-},mathbf{hat{u}^+}) （1）

其中 L^- 和 P^- 分别代表著低维上的N-S方程的线性算符和对卷积项的投影算符，-和+代表著小于/大于某个截断波数，而修正项S即是所谓的亚格子应力（Sub-grid Stress）项。不难看出，方程（1）仍然不是对 mathbf{hat{u}}^- 封闭的。假如我们实际上只能在低波数mathbf{hat{u}}^-上进行模拟的话，那就必须通过建模的方式消除截断波数以上的 mathbf{hat{u}^+}。

那么，如何对SGS项进行建模呢？我们的第一个选择是完全拥抱实用主义，通过一些经验性的假设和系数构造出至少能量耗散大致合理的SGS封闭方案。这种方法是绝大多数现有工程模型（比如Smagorinksy模型）的基础。第二个思路是最近几年随著机器学习的大热而慢慢受到关注的所谓Data-driven modeling，即把大涡模拟视作一个图像处理中的超解析度问题(见下图)，直接通过大量的数据去学习SGS项。第三个建模思路是借鉴物理学家处理在相变理论中的粗粒化时所开发的一套系统化的方法，更深地挖掘N-S方程本身所包含的物理信息。这就是我们将著重讨论的重整化群（RG）方法。

图像处理的超解析度(SR)问题，是不是和LES有些神似？

「重整化群」（Renormalization Group）这个晦涩翻译的糟糕程度堪比把形象优美的Energy Cascade译作「能量级串」。其实它的思想本质并不复杂。在大涡模拟问题中，我们可以将重整化群简单地看作一个「小步快跑」的迭代程序：

  1. 选取一个起始的流场尺度 k_0 ,在一小段波数区间 [k_1,k_0] 上对求解N-S方程，并将在该区间上的解对N-S方程在[0,k_1] 波段上的影响表示为对于系统粘性的一个小修正： u_0 ightarrow u_1= u_0+delta u
  2. 对方程进行标度变换，使其在 [0,k_1] 的区间上同在 [0,k_0] 的原方程具有相似的形式.

在新的区间 [k_2,k_1] 上反复进行1,2步的迭代，直到系统状态不再随著标度改变，即达到一个不动点。此时我们将高波数的影响包含在了重整化后的粘性系数中，就可以在低波数空间上求解封闭的降维方程了。

湍流波数空间上的RG变换，摘自McComb (2014), P13. 注意到这个能谱包含极高波数（超越耗散区间，趋向连续性假设极限）的「紫外」波段和极小波数的「红外」波段。

然而，这个纸面上看起来可行的方案在实际执行中其实充满了各种困难。要知道，一上来我们可是就要在某个波数区间上和N-S方程徒手刚正面的！在前一篇笔记中，我们已经通过对N-S方程的微扰分析窥见到了非线性项这个绝壁是何等陡峭，稍不注意就是一波发散粉身碎骨。因此，我们必须明智地选择战场才有那么一丁点胜算。

这就逼迫我们把眼光投向能谱上的两个极限区域：极低波数的「红外」波段和极高波数的「紫外」波段。在这两个区域上，非线性项这头怪兽要么被大尺度的随机扰动力吹得晕头转向，要么深陷粘性泥沼难以动弹。只有在这两个情况下我们才有机会靠近boss，拿著手里的小木刀抡上几点血。在后续的笔记里，我们将分别讨论在「红外」波段上和「紫外」波段上的进行重整化的具体实现。

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