本系列筆記的索引頁

在開始沿著重整化羣（RG）路線攀登湍流之前，我們有必要首先對這條路線建立一個定性的物理理解. 通常情況下，鐵磁相變中的Ising model是介紹RG基本思想的一個常見toy model. 但是為了避免偏離這一系列筆記的主題，我們將直接從這個流體專欄的讀者非常熟悉的大渦模擬（LES）自然地引入RG的概念.

從物理的角度上看，流體的大渦模擬所追求的是用一個低維動力系統去表達高維動力系統。不惜工本的話，我們當然可以選擇一個最開掛的辦法：跑一個巨高解析度的DNS，並在每一時間步輸出粗粒化的結果，使得從外界觀察起來像是低解析度下進行的模擬。

從DNS平均得到的「偽LES」

顯然，這種開掛方法的睿智程度不亞於為了上樓先登月。稍微動點腦筋的做法是在對DNS進行粗粒化的時候，至少以一種恰當的方式「學習」這些丟失的自由度所帶來的影響。這樣在重新跑一遍這個case的時候，我們就可以通過模擬低維方程+修正的方式來獲得同樣的結果。上述過程可以用算符形式的N-S方程抽象地表示為

L^-{mathbf{hat{u}}^-}=P^-{ mathbf{hat{u}}^-*mathbf{hat{u}}^-}+S^-(mathbf{hat{u}^-},mathbf{hat{u}^+}) （1）

其中 L^- 和 P^- 分別代表著低維上的N-S方程的線性算符和對卷積項的投影算符，-和+代表著小於/大於某個截斷波數，而修正項S即是所謂的亞格子應力（Sub-grid Stress）項。不難看出，方程（1）仍然不是對 mathbf{hat{u}}^- 封閉的。假如我們實際上只能在低波數mathbf{hat{u}}^-上進行模擬的話，那就必須通過建模的方式消除截斷波數以上的 mathbf{hat{u}^+}。

那麼，如何對SGS項進行建模呢？我們的第一個選擇是完全擁抱實用主義，通過一些經驗性的假設和係數構造出至少能量耗散大致合理的SGS封閉方案。這種方法是絕大多數現有工程模型（比如Smagorinksy模型）的基礎。第二個思路是最近幾年隨著機器學習的大熱而慢慢受到關注的所謂Data-driven modeling，即把大渦模擬視作一個圖像處理中的超解析度問題(見下圖)，直接通過大量的數據去學習SGS項。第三個建模思路是借鑒物理學家處理在相變理論中的粗粒化時所開發的一套系統化的方法，更深地挖掘N-S方程本身所包含的物理信息。這就是我們將著重討論的重整化羣（RG）方法。

圖像處理的超解析度(SR)問題，是不是和LES有些神似？

「重整化羣」（Renormalization Group）這個晦澀翻譯的糟糕程度堪比把形象優美的Energy Cascade譯作「能量級串」。其實它的思想本質並不複雜。在大渦模擬問題中，我們可以將重整化羣簡單地看作一個「小步快跑」的迭代程序：

  1. 選取一個起始的流場尺度 k_0 ,在一小段波數區間 [k_1,k_0] 上對求解N-S方程，並將在該區間上的解對N-S方程在[0,k_1] 波段上的影響表示為對於系統粘性的一個小修正： u_0 ightarrow u_1= u_0+delta u
  2. 對方程進行標度變換，使其在 [0,k_1] 的區間上同在 [0,k_0] 的原方程具有相似的形式.

在新的區間 [k_2,k_1] 上反覆進行1,2步的迭代，直到系統狀態不再隨著標度改變，即達到一個不動點。此時我們將高波數的影響包含在了重整化後的粘性係數中，就可以在低波數空間上求解封閉的降維方程了。

湍流波數空間上的RG變換，摘自McComb (2014), P13. 注意到這個能譜包含極高波數（超越耗散區間，趨向連續性假設極限）的「紫外」波段和極小波數的「紅外」波段。

然而，這個紙面上看起來可行的方案在實際執行中其實充滿了各種困難。要知道，一上來我們可是就要在某個波數區間上和N-S方程徒手剛正面的！在前一篇筆記中，我們已經通過對N-S方程的微擾分析窺見到了非線性項這個絕壁是何等陡峭，稍不注意就是一波發散粉身碎骨。因此，我們必須明智地選擇戰場纔有那麼一丁點勝算。

這就逼迫我們把眼光投向能譜上的兩個極限區域：極低波數的「紅外」波段和極高波數的「紫外」波段。在這兩個區域上，非線性項這頭怪獸要麼被大尺度的隨機擾動力吹得暈頭轉向，要麼深陷粘性泥沼難以動彈。只有在這兩個情況下我們纔有機會靠近boss，拿著手裡的小木刀掄上幾點血。在後續的筆記裏，我們將分別討論在「紅外」波段上和「紫外」波段上的進行重整化的具體實現。

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