我是非常痛恨熊孩子的人。可是,最近家裡來親戚,這個親戚帶來了一個小孩子,這個小孩子啊非常調皮搗蛋,晚上睡覺在我牀上蹦來蹦去不說,還在我的作業本和習題資料上亂塗亂畫喜羊羊熊大之類的,可我是一個讀書人啊,不能動粗啊。氣得我敢怒不敢言。
這就罷了啊?!可是最近,期中考試的時候我的卷子上出現了一道題,差點把又我氣的吐出血。是不是我最近得罪了哪路神仙大人啊?專門派熊孩子來欺負我?!
題目的框架是這樣的:
如圖,在光滑的冰面上,兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 和 滑來,其中甲手中推著質量為 的箱子。為了避免碰撞,甲將手中的箱子以 向乙推出,乙接到箱子以後也以 將箱子向甲推出,甲接到以後再重複上面的過程......若甲質量為 ,乙的質量為 ,問箱子至少被推出幾次,才能避免相撞?
咳咳,在我正經回答之前,想吐槽一下。我x,小屁孩玩點什麼不好,非得在冰面上玩這麼危險的碰碰遊戲。。。撞死你活該。。。你媽沒教你這很危險的嗎?......
最終,我花了一節晚自習專門研究這種問題。
通過不懈努力,我終於研究出了這道題的萬能公式。
這種萬能公式可以解決任何這種類型的題目。
在講解萬能公式之前,我們先進行一些分析。
相信大家第一眼看見這種題目的時候,很多人都是一臉懵逼的。確實,這道題的難點就在於中間量很多,物體的運動變化情況很多。並且還有對不相撞的臨界條件的理解。
我們分析一下不相撞的臨界條件。不相撞的臨界條件是:乙在某次接到箱子以後,和兩人速度相等。
為什麼呢?當甲和乙速度相等的時候,兩個對象是相對靜止的。此後就不會出現一個對象的位置相對於另一個對象發生變化了。
有人問,臨界條件為啥不是甲在某次接到箱子以後兩人速度相等,而是乙呢?沒錯這就是理解的難點。讓我們先帶著這個問題去分析這個臨界條件。
首先,我們以右為正,甲第一次投出箱子時,根據動量守恆定律,我們得到了方程
, 是甲推出箱子後的速度
我們總體來看,投出箱子以後,原先甲和箱子組成的系統,推出箱子以後,損失掉了箱子的質量,也就意味著損失的動量為
然後乙接到了箱子,這個時候,根據動量守恆,我們得到了方程
,其中 是乙接到箱子以後,乙和箱子的共同速度。
我們也可以知道,乙接到箱子以後,收到的動量是 。
當乙推出箱子以後,根據動量守恆,我們有方程
, 是乙推出箱子後乙的速度。
這個時候,損失的動量還是
當甲再收到箱子,根據動量守恆,有
, 是甲接到箱子以後和箱子的共速。
甲接到箱子以後,動量也還是損失了
我們類比以上過程,當甲接到箱子以後,再推給乙,乙再推給甲......不斷重複這個過程。我們可以得到一個結論,
每一次收到或推出箱子,動量的變化量始終為
這是一個非常重要的結論,是我們理解的關鍵點。
我們這樣想,當傳遞次數到達一定次數後,甲會以更小的速度繼續向右,乙會靜止下來。這個時候仍然有相撞危險。然後甲再繼續推箱子,讓乙往右運動。當傳遞次數再到達一定次數後,甲和乙會有向右的共同速度。這個時候,甲乙之間沒有相對速度,就沒有相撞的危險了。
那我們用等效思想,既然甲乙每次收到和推出時動量改變數都相同,那麼我們可以等效為:等效這個箱子甲第一次推出後,乙第一次接到後,甲就和乙就有共同速度。
甲一次推出箱子,改變的動量為 ,同理,乙也是這個該變數。
這樣,那個臨界條件就好理解了。臨界條件是:乙在某次接到箱子以後,和兩人速度相等。
這個時候用等效思想來說就相當於,等效這個箱子甲第一次推出後,乙第一次接到後,甲就和乙就有共同速度。
好叻,臨界條件分析完了,接下來就是給出萬能公式了。我再把題目和圖發一遍。
分析:我們可以得到兩個方程:
首先,以右為正,根據動量守恆定律,設最終甲和乙和箱子的共同速度為 ,有
,列出這個式子是為了求出共同速度
設箱子被推出 次,那麼每推出一次,推出者和接收者的動量變化量為
,接收者和推出者總的動量變化量為
對甲進行分析,甲傳遞箱子 次後,甲與乙有共速
綜上,那麼傳遞次數應該滿足的關係為
也就是說,至少應該傳遞 次
注意,符號「 ? ? 」是向上取整符號,若符號中是小數,那麼向上取整結果為去掉小數,整數部分加上一;若是整數,則結果還是原來的數字。比如 ? 1.75 ?=2,? 4.05 ?=5,? 5.001 ?=6,? 7 ?=7,? 100 ?=100
以上是核心內容,請同學們記住以上四個關係式做題的時候,可以直接套。
那接下來,我們就上道例題練練手吧?
解:
,
帶入相關數據,得到
,接收者和推出者總的動量變化量為
至少傳遞一次即可避免相撞危險。
好叻再上一道有新角度的例題
如圖,在光滑的冰面上,兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 和 滑來,其中甲手中推著質量為 的箱子。為了避免碰撞,甲將手中的箱子以 向乙推出,乙接到箱子以後也以 將箱子向甲推出.若甲質量為 ,乙的質量為 .若箱子只傳遞一次就避免相撞危險,那麼推出的速度 至少多大?
注意,這時候不再是傳遞次數問題,而是推出速度問題。不過沒關係,依然可以用上面的公式。
設箱子被推出 次,推出者和接收者的動量變化量為
綜上,根據題中條件,傳遞了一次,那麼傳遞次數
帶入相關數據,解得 ,這是恰好避免危險的至少推出速度。
以上萬能公式,一步兩步三步四步,OK,完全搞定推箱子問題
上面的公式請同學們好好把玩。品味。
還有一種類似的模型。
如圖,在光滑的冰面上,兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 和 滑來,其中甲車上裝有一些完全相同的質量為 的小球。為了避免碰撞,甲車上的小球以 向乙投出,乙接到小球後放到車上,甲再向乙投出小球,再重複上面的過程......若甲和車總質量為 ,乙和車的質量為 ,問甲至少投出多少個小球,才能避免相撞?
沒錯,題目又變了,這次不再是箱子了,而是投球。與之前那個推箱子的差異在於:甲乙兩個物體的及小球組成的系統質量是變化的。推箱子是隻有兩人的速度變化,而這個是兩人的質量和速度一塊變化。
馬上有同學驚慌了。這個題目好像複雜了哎,過程好像更複雜了啊!驚慌了嗎??別驚慌!雖然這種類型的題目難度提升了一個檔次,但是基本思想和前面那個推箱子基本一樣。
首先,大家類比前面推箱子那個,先找到投出小球後不變數是什麼。然後再利用等效思想,等效於小球一次全拋出。
本模型中不相撞的不相撞的臨界條件是:乙在某次接到小球以後,和兩人速度相等。
對臨界條件的分析應該還認識到:
甲每次投出一個球和乙每次接到一個球,動量變化量仍然是相等的。請同學們嘗試列下方程,甲投出一個球,乙接到一個球,甲再投出一個球,乙再接到一個球。好好感受下。
我們也可以等效思想,設甲投出 個球且乙接到 個球後兩人的速度相等,那麼等效甲一次把 個球都投出,乙一次把甲投出的 個球都接到手,那麼對這類問題就簡單了。
此模型的萬能公式,我本來原先找到了,但是公式非常複雜,計算量特別大,要解四次方程,並不是一個好方法。所以萬能公式目前正在探索中,下期再見。
就講到這裡吧,若各位同學對講解有疑問,可以通過私信問我。若有發現錯誤和更好的意見,請斧正。對此表示真誠的感謝。
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