例 設函數 f(x)=(x-a)ln x-bx+1 ，曲線 y=f(x) 在 (1,f(1)) 處的的切線方程為 y=-x+1 。

（1）求 a ， b 的值；

（2）設函數 f(x) 在 (1,+infty) 內的零點為 x=x_0 ，曲線 y=f(x) 在 (x_0,0) 處的切線方程為 y=g(x) ，證明： f(x)geq g(x) ;

（3）記方程 f(x)=m 的兩個根分別為 x_1 ， x_2 ，且 x_1<x_2 ，證明： x_2-x_1le frac{2e-1}{e-1}cdot m+e-1 。

解答 （1） f(1)=1-b=0 ，解得 b=1 ，故 f(x)=ln x-frac{a}{x}

f(1)=-a=-1 ，解得 a=1 ，故 a=b=1 。

（2）此時 f(x)=(x-1)ln x-x+1=(x-1)(ln x-1) ，故 x_0=e

由題意得 g(x)=f (x_0)(x-x_0)+f(x_0) ，令 varphi (x)=f(x)-g(x)

注意到 varphi (x_0)=f(x_0)-f(x_0)=0 ， varphi (x)=f(x)-f (x_0)

varphi (x_0)=f(x_0)-f(x_0)=0 ， varphi (x)=f(x)=frac{x+1}{x^2}>0

故 varphi (x) 在 (0,+infty) 單調遞增，當 0<x<x_0 時， varphi (x)<0 ，

當 x>x_0 時， varphi (x)>0 ，故 varphi (x) 在 (0,x_0) 遞減，在 (x_0,+infty ) 遞增

varphi (x)geq varphi (x_0)=0 ，也即 f(x)geq g(x) ，證畢。

注 此處也說明瞭函數的凹凸型（二階導數的正負）可以判斷是否可以進行切線放縮。

（3）由（2）得： f(x)geq g(x)=(1-frac{1}{e})x-e+1 ，同理有 f(x)geq -x+1

設直線 y=m 與直線 y=-x+1 ， y=(1-frac{1}{e})x-e+1 分別相交於 A(x_1,m) ， B(x_2,m) ，再記 h(x)=-x+1

則有 m=h(x_1)=f(x_1)le h(x_1) ，故 x_1le x_1 ，同理 x_2geq x_2

因此 x_2-x_1le x_2-x_1 ，又由 -x_1+1=m 解得 x_1=1-m

由 (1-frac{1}{e})x_2-e+1=m 解得 x_2=frac{e}{e-1}cdot m+e

因此 x_2-x_1le x_2-x_1=frac{2e-1}{e-1}cdot m+e-1 ，證畢。


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