我是非常痛恨熊孩子的人。可是，最近家里来亲戚，这个亲戚带来了一个小孩子，这个小孩子啊非常调皮捣蛋，晚上睡觉在我床上蹦来蹦去不说，还在我的作业本和习题资料上乱涂乱画喜羊羊熊大之类的，可我是一个读书人啊，不能动粗啊。气得我敢怒不敢言。

这就罢了啊？！可是最近，期中考试的时候我的卷子上出现了一道题，差点把又我气的吐出血。是不是我最近得罪了哪路神仙大人啊？专门派熊孩子来欺负我？！

题目的框架是这样的：

如图，在光滑的冰面上，两个小孩甲和乙迎面分别以速度 v_{1} 和 v_{2} 滑来，其中甲手中推著质量为 M 的箱子。为了避免碰撞，甲将手中的箱子以 v 向乙推出，乙接到箱子以后也以 v 将箱子向甲推出，甲接到以后再重复上面的过程......若甲质量为 m_{1} ,乙的质量为 m_{2} ，问箱子至少被推出几次，才能避免相撞？

咳咳，在我正经回答之前，想吐槽一下。我x，小屁孩玩点什么不好，非得在冰面上玩这么危险的碰碰游戏。。。撞死你活该。。。你妈没教你这很危险的吗？......

最终，我花了一节晚自习专门研究这种问题。

通过不懈努力，我终于研究出了这道题的万能公式。

这种万能公式可以解决任何这种类型的题目。

在讲解万能公式之前，我们先进行一些分析。

相信大家第一眼看见这种题目的时候，很多人都是一脸懵逼的。确实，这道题的难点就在于中间量很多，物体的运动变化情况很多。并且还有对不相撞的临界条件的理解。

我们分析一下不相撞的临界条件。不相撞的临界条件是：乙在某次接到箱子以后，和两人速度相等。

为什么呢？当甲和乙速度相等的时候，两个对象是相对静止的。此后就不会出现一个对象的位置相对于另一个对象发生变化了。

有人问，临界条件为啥不是甲在某次接到箱子以后两人速度相等，而是乙呢？没错这就是理解的难点。让我们先带著这个问题去分析这个临界条件。

首先，我们以右为正,甲第一次投出箱子时，根据动量守恒定律，我们得到了方程

(m_{甲}+M)v_{1}=m_{甲}v_{3}+Mv , v_{3} 是甲推出箱子后的速度

我们总体来看，投出箱子以后，原先甲和箱子组成的系统，推出箱子以后，损失掉了箱子的质量，也就意味著损失的动量为 Δp=Mv

然后乙接到了箱子，这个时候，根据动量守恒，我们得到了方程

-m_{乙}v_{2}+Mv=-(M+m_{乙})v_{4} ,其中 v_{4} 是乙接到箱子以后，乙和箱子的共同速度。

我们也可以知道，乙接到箱子以后，收到的动量是 Δp=Mv 。

当乙推出箱子以后，根据动量守恒，我们有方程

-(M+m_{乙})v_{4}=-Mv+m_{乙}v_{5} , v_{5} 是乙推出箱子后乙的速度。

这个时候，损失的动量还是 Δp=Mv

当甲再收到箱子，根据动量守恒，有

m_{甲}v_{1}-Mv=(m_{甲}+M)v_{6} , v_{6} 是甲接到箱子以后和箱子的共速。

甲接到箱子以后，动量也还是损失了

Δp=Mv

我们类比以上过程，当甲接到箱子以后，再推给乙，乙再推给甲......不断重复这个过程。我们可以得到一个结论，

每一次收到或推出箱子，动量的变化量始终为 Δp=Mv

这是一个非常重要的结论，是我们理解的关键点。

我们这样想，当传递次数到达一定次数后，甲会以更小的速度继续向右，乙会静止下来。这个时候仍然有相撞危险。然后甲再继续推箱子，让乙往右运动。当传递次数再到达一定次数后，甲和乙会有向右的共同速度。这个时候，甲乙之间没有相对速度，就没有相撞的危险了。

那我们用等效思想，既然甲乙每次收到和推出时动量改变数都相同，那么我们可以等效为：等效这个箱子甲第一次推出后，乙第一次接到后，甲就和乙就有共同速度。

甲一次推出箱子，改变的动量为 Δp=nΔp=nMv, n∈N^{*} ,同理，乙也是这个该变数。

这样，那个临界条件就好理解了。临界条件是：乙在某次接到箱子以后，和两人速度相等。

这个时候用等效思想来说就相当于，等效这个箱子甲第一次推出后，乙第一次接到后，甲就和乙就有共同速度。

好叻，临界条件分析完了，接下来就是给出万能公式了。我再把题目和图发一遍。

如图，在光滑的冰面上，两个小孩甲和乙迎面分别以速度 v_{1} 和 v_{2} 滑来，其中甲手中推著质量为 M 的箱子。为了避免碰撞，甲将手中的箱子以 v 向乙推出，乙接到箱子以后也以 v 将箱子向甲推出，甲接到以后再重复上面的过程......若甲质量为 m_{1} ,乙的质量为 m_{2} ，问箱子至少被推出几次，才能避免相撞？

分析：我们可以得到两个方程：

首先，以右为正，根据动量守恒定律，设最终甲和乙和箱子的共同速度为 v_{t} ，有

(m_{甲}+M)v_{1}-m_{乙}v_{2}=(m_{甲}+m_{乙}+M)v_{t} ，列出这个式子是为了求出共同速度 v_{t}

设箱子被推出 n 次，那么每推出一次，推出者和接收者的动量变化量为

Δp=Mv ，接收者和推出者总的动量变化量为 Δp=nΔp

对甲进行分析，甲传递箱子 n 次后，甲与乙有共速

(m_{甲}+M)v_{1}-Δp=m_{甲}v_{t}

综上，那么传递次数应该满足的关系为

n≥?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}?

也就是说，至少应该传递 ?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}? 次

注意，符号「 ? ? 」是向上取整符号，若符号中是小数，那么向上取整结果为去掉小数，整数部分加上一;若是整数，则结果还是原来的数字。比如 ? 1.75 ?=2，? 4.05 ?=5，? 5.001 ?=6，? 7 ?=7，? 100 ?=100

以上是核心内容，请同学们记住以上四个关系式做题的时候，可以直接套。

那接下来，我们就上道例题练练手吧？

如图，在光滑的冰面上，两个小孩甲和乙迎面分别以速度 v_{1}=2 m/s 和 v_{2}=-2 m/s 滑来，其中甲手中推著质量为 M=10kg 的箱子。为了避免碰撞，甲将手中的箱子以 v=6m/s 向乙推出，乙接到箱子以后也以 v 将箱子向甲推出，甲接到以后再重复上面的过程......若甲质量为 m_{甲}=30kg ,乙的质量为 m_{乙}=20kg ，问箱子至少被推出几次，才能避免相撞？

解：

首先，以右为正，根据动量守恒定律，设最终甲和乙和箱子的共同速度为 v_{t} ，有

(m_{甲}+M)v_{1}-m_{乙}v_{2}=(m_{甲}+m_{乙}+M)v_{t} ，

带入相关数据，得到 v_{t}=frac{2}{3}m/s

设箱子被推出 n 次，那么每推出一次，推出者和接收者的动量变化量为

Δp=Mv=60kg·m/s ,接收者和推出者总的动量变化量为 Δp=nΔp

对甲进行分析，甲传递箱子 n 次后，甲与乙有共速

(m_{甲}+M)v_{1}-Δp=m_{甲}v_{t} ，

综上，那么传递次数应该满足的关系为

n≥?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}?

带入相关数据，得到

n≥1

至少传递一次即可避免相撞危险。

好叻再上一道有新角度的例题

如图，在光滑的冰面上，两个小孩甲和乙迎面分别以速度 v_{1}=2 m/s 和 v_{2}=2 m/s 滑来，其中甲手中推著质量为 M=15kg 的箱子。为了避免碰撞，甲将手中的箱子以 v 向乙推出，乙接到箱子以后也以 v 将箱子向甲推出.若甲质量为 m_{甲}=30kg ,乙的质量为 m_{乙}=30kg .若箱子只传递一次就避免相撞危险，那么推出的速度 v 至少多大？

注意，这时候不再是传递次数问题，而是推出速度问题。不过没关系，依然可以用上面的公式。

首先，以右为正，根据动量守恒定律，设最终甲和乙和箱子的共同速度为 v_{t} ，有

(m_{甲}+M)v_{1}-m_{乙}v_{2}=(m_{甲}+m_{乙}+M)v_{t}

带入相关数据，得到 v_{t}=frac{2}{5}m/s

设箱子被推出 1 次，推出者和接收者的动量变化量为

Δp=Mv

对甲进行分析，甲传递箱子 1 次后，甲与乙有共速

(m_{甲}+M)v_{1}-Δp=m_{甲}v_{t}

综上，根据题中条件，传递了一次，那么传递次数

?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}?=1

带入相关数据，解得 v=5.2m/s ，这是恰好避免危险的至少推出速度。

以上万能公式，一步两步三步四步，OK，完全搞定推箱子问题

上面的公式请同学们好好把玩。品味。

还有一种类似的模型。

如图，在光滑的冰面上，两个小孩甲和乙迎面分别以速度 v_{1} 和 v_{2} 滑来，其中甲车上装有一些完全相同的质量为 m 的小球。为了避免碰撞，甲车上的小球以 v 向乙投出，乙接到小球后放到车上，甲再向乙投出小球，再重复上面的过程......若甲和车总质量为 m_{甲} ,乙和车的质量为 m_{乙} ，问甲至少投出多少个小球，才能避免相撞？

没错，题目又变了，这次不再是箱子了，而是投球。与之前那个推箱子的差异在于：甲乙两个物体的及小球组成的系统质量是变化的。推箱子是只有两人的速度变化，而这个是两人的质量和速度一块变化。

马上有同学惊慌了。这个题目好像复杂了哎，过程好像更复杂了啊！惊慌了吗？？别惊慌！虽然这种类型的题目难度提升了一个档次，但是基本思想和前面那个推箱子基本一样。

首先，大家类比前面推箱子那个，先找到投出小球后不变数是什么。然后再利用等效思想，等效于小球一次全抛出。

本模型中不相撞的不相撞的临界条件是：乙在某次接到小球以后，和两人速度相等。

对临界条件的分析应该还认识到：

甲每次投出一个球和乙每次接到一个球，动量变化量仍然是相等的。请同学们尝试列下方程，甲投出一个球，乙接到一个球，甲再投出一个球，乙再接到一个球。好好感受下。

我们也可以等效思想，设甲投出 n 个球且乙接到 n 个球后两人的速度相等，那么等效甲一次把 n 个球都投出，乙一次把甲投出的 n 个球都接到手，那么对这类问题就简单了。

此模型的万能公式，我本来原先找到了，但是公式非常复杂，计算量特别大，要解四次方程，并不是一个好方法。所以万能公式目前正在探索中，下期再见。

就讲到这里吧，若各位同学对讲解有疑问，可以通过私信问我。若有发现错误和更好的意见，请斧正。对此表示真诚的感谢。

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