我是非常痛恨熊孩子的人。可是，最近家裡來親戚，這個親戚帶來了一個小孩子，這個小孩子啊非常調皮搗蛋，晚上睡覺在我牀上蹦來蹦去不說，還在我的作業本和習題資料上亂塗亂畫喜羊羊熊大之類的，可我是一個讀書人啊，不能動粗啊。氣得我敢怒不敢言。

這就罷了啊？！可是最近，期中考試的時候我的卷子上出現了一道題，差點把又我氣的吐出血。是不是我最近得罪了哪路神仙大人啊？專門派熊孩子來欺負我？！

題目的框架是這樣的：

如圖，在光滑的冰面上，兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 v_{1} 和 v_{2} 滑來，其中甲手中推著質量為 M 的箱子。為了避免碰撞，甲將手中的箱子以 v 向乙推出，乙接到箱子以後也以 v 將箱子向甲推出，甲接到以後再重複上面的過程......若甲質量為 m_{1} ,乙的質量為 m_{2} ，問箱子至少被推出幾次，才能避免相撞？

咳咳，在我正經回答之前，想吐槽一下。我x，小屁孩玩點什麼不好，非得在冰面上玩這麼危險的碰碰遊戲。。。撞死你活該。。。你媽沒教你這很危險的嗎？......

最終，我花了一節晚自習專門研究這種問題。

通過不懈努力，我終於研究出了這道題的萬能公式。

這種萬能公式可以解決任何這種類型的題目。

在講解萬能公式之前，我們先進行一些分析。

相信大家第一眼看見這種題目的時候，很多人都是一臉懵逼的。確實，這道題的難點就在於中間量很多，物體的運動變化情況很多。並且還有對不相撞的臨界條件的理解。

我們分析一下不相撞的臨界條件。不相撞的臨界條件是：乙在某次接到箱子以後，和兩人速度相等。

為什麼呢？當甲和乙速度相等的時候，兩個對象是相對靜止的。此後就不會出現一個對象的位置相對於另一個對象發生變化了。

有人問，臨界條件為啥不是甲在某次接到箱子以後兩人速度相等，而是乙呢？沒錯這就是理解的難點。讓我們先帶著這個問題去分析這個臨界條件。

首先，我們以右為正,甲第一次投出箱子時，根據動量守恆定律，我們得到了方程

(m_{甲}+M)v_{1}=m_{甲}v_{3}+Mv , v_{3} 是甲推出箱子後的速度

我們總體來看，投出箱子以後，原先甲和箱子組成的系統，推出箱子以後，損失掉了箱子的質量，也就意味著損失的動量為 Δp=Mv

然後乙接到了箱子，這個時候，根據動量守恆，我們得到了方程

-m_{乙}v_{2}+Mv=-(M+m_{乙})v_{4} ,其中 v_{4} 是乙接到箱子以後，乙和箱子的共同速度。

我們也可以知道，乙接到箱子以後，收到的動量是 Δp=Mv 。

當乙推出箱子以後，根據動量守恆，我們有方程

-(M+m_{乙})v_{4}=-Mv+m_{乙}v_{5} , v_{5} 是乙推出箱子後乙的速度。

這個時候，損失的動量還是 Δp=Mv

當甲再收到箱子，根據動量守恆，有

m_{甲}v_{1}-Mv=(m_{甲}+M)v_{6} , v_{6} 是甲接到箱子以後和箱子的共速。

甲接到箱子以後，動量也還是損失了

Δp=Mv

我們類比以上過程，當甲接到箱子以後，再推給乙，乙再推給甲......不斷重複這個過程。我們可以得到一個結論，

每一次收到或推出箱子，動量的變化量始終為 Δp=Mv

這是一個非常重要的結論，是我們理解的關鍵點。

我們這樣想，當傳遞次數到達一定次數後，甲會以更小的速度繼續向右，乙會靜止下來。這個時候仍然有相撞危險。然後甲再繼續推箱子，讓乙往右運動。當傳遞次數再到達一定次數後，甲和乙會有向右的共同速度。這個時候，甲乙之間沒有相對速度，就沒有相撞的危險了。

那我們用等效思想，既然甲乙每次收到和推出時動量改變數都相同，那麼我們可以等效為：等效這個箱子甲第一次推出後，乙第一次接到後，甲就和乙就有共同速度。

甲一次推出箱子，改變的動量為 Δp=nΔp=nMv, n∈N^{*} ,同理，乙也是這個該變數。

這樣，那個臨界條件就好理解了。臨界條件是：乙在某次接到箱子以後，和兩人速度相等。

這個時候用等效思想來說就相當於，等效這個箱子甲第一次推出後，乙第一次接到後，甲就和乙就有共同速度。

好叻，臨界條件分析完了，接下來就是給出萬能公式了。我再把題目和圖發一遍。

如圖，在光滑的冰面上，兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 v_{1} 和 v_{2} 滑來，其中甲手中推著質量為 M 的箱子。為了避免碰撞，甲將手中的箱子以 v 向乙推出，乙接到箱子以後也以 v 將箱子向甲推出，甲接到以後再重複上面的過程......若甲質量為 m_{1} ,乙的質量為 m_{2} ，問箱子至少被推出幾次，才能避免相撞？

分析：我們可以得到兩個方程：

首先，以右為正，根據動量守恆定律，設最終甲和乙和箱子的共同速度為 v_{t} ，有

(m_{甲}+M)v_{1}-m_{乙}v_{2}=(m_{甲}+m_{乙}+M)v_{t} ，列出這個式子是為了求出共同速度 v_{t}

設箱子被推出 n 次，那麼每推出一次，推出者和接收者的動量變化量為

Δp=Mv ，接收者和推出者總的動量變化量為 Δp=nΔp

對甲進行分析，甲傳遞箱子 n 次後，甲與乙有共速

(m_{甲}+M)v_{1}-Δp=m_{甲}v_{t}

綜上，那麼傳遞次數應該滿足的關係為

n≥?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}?

也就是說，至少應該傳遞 ?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}? 次

注意，符號「 ? ? 」是向上取整符號，若符號中是小數，那麼向上取整結果為去掉小數，整數部分加上一;若是整數，則結果還是原來的數字。比如 ? 1.75 ?=2，? 4.05 ?=5，? 5.001 ?=6，? 7 ?=7，? 100 ?=100

以上是核心內容，請同學們記住以上四個關係式做題的時候，可以直接套。

那接下來，我們就上道例題練練手吧？

如圖，在光滑的冰面上，兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 v_{1}=2 m/s 和 v_{2}=-2 m/s 滑來，其中甲手中推著質量為 M=10kg 的箱子。為了避免碰撞，甲將手中的箱子以 v=6m/s 向乙推出，乙接到箱子以後也以 v 將箱子向甲推出，甲接到以後再重複上面的過程......若甲質量為 m_{甲}=30kg ,乙的質量為 m_{乙}=20kg ，問箱子至少被推出幾次，才能避免相撞？

解：

首先，以右為正，根據動量守恆定律，設最終甲和乙和箱子的共同速度為 v_{t} ，有

(m_{甲}+M)v_{1}-m_{乙}v_{2}=(m_{甲}+m_{乙}+M)v_{t} ，

帶入相關數據，得到 v_{t}=frac{2}{3}m/s

設箱子被推出 n 次，那麼每推出一次，推出者和接收者的動量變化量為

Δp=Mv=60kg·m/s ,接收者和推出者總的動量變化量為 Δp=nΔp

對甲進行分析，甲傳遞箱子 n 次後，甲與乙有共速

(m_{甲}+M)v_{1}-Δp=m_{甲}v_{t} ，

綜上，那麼傳遞次數應該滿足的關係為

n≥?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}?

帶入相關數據，得到

n≥1

至少傳遞一次即可避免相撞危險。

好叻再上一道有新角度的例題

如圖，在光滑的冰面上，兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 v_{1}=2 m/s 和 v_{2}=2 m/s 滑來，其中甲手中推著質量為 M=15kg 的箱子。為了避免碰撞，甲將手中的箱子以 v 向乙推出，乙接到箱子以後也以 v 將箱子向甲推出.若甲質量為 m_{甲}=30kg ,乙的質量為 m_{乙}=30kg .若箱子只傳遞一次就避免相撞危險，那麼推出的速度 v 至少多大？

注意，這時候不再是傳遞次數問題，而是推出速度問題。不過沒關係，依然可以用上面的公式。

首先，以右為正，根據動量守恆定律，設最終甲和乙和箱子的共同速度為 v_{t} ，有

(m_{甲}+M)v_{1}-m_{乙}v_{2}=(m_{甲}+m_{乙}+M)v_{t}

帶入相關數據，得到 v_{t}=frac{2}{5}m/s

設箱子被推出 1 次，推出者和接收者的動量變化量為

Δp=Mv

對甲進行分析，甲傳遞箱子 1 次後，甲與乙有共速

(m_{甲}+M)v_{1}-Δp=m_{甲}v_{t}

綜上，根據題中條件，傳遞了一次，那麼傳遞次數

?frac{(m_{甲}+M)v_{1}-m_{甲}v_{t}}{Δp}?=1

帶入相關數據，解得 v=5.2m/s ，這是恰好避免危險的至少推出速度。

以上萬能公式，一步兩步三步四步，OK，完全搞定推箱子問題

上面的公式請同學們好好把玩。品味。

還有一種類似的模型。

如圖，在光滑的冰面上，兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 v_{1} 和 v_{2} 滑來，其中甲車上裝有一些完全相同的質量為 m 的小球。為了避免碰撞，甲車上的小球以 v 向乙投出，乙接到小球後放到車上，甲再向乙投出小球，再重複上面的過程......若甲和車總質量為 m_{甲} ,乙和車的質量為 m_{乙} ，問甲至少投出多少個小球，才能避免相撞？

沒錯，題目又變了，這次不再是箱子了，而是投球。與之前那個推箱子的差異在於：甲乙兩個物體的及小球組成的系統質量是變化的。推箱子是隻有兩人的速度變化，而這個是兩人的質量和速度一塊變化。

馬上有同學驚慌了。這個題目好像複雜了哎，過程好像更複雜了啊！驚慌了嗎？？別驚慌！雖然這種類型的題目難度提升了一個檔次，但是基本思想和前面那個推箱子基本一樣。

首先，大家類比前面推箱子那個，先找到投出小球後不變數是什麼。然後再利用等效思想，等效於小球一次全拋出。

本模型中不相撞的不相撞的臨界條件是：乙在某次接到小球以後，和兩人速度相等。

對臨界條件的分析應該還認識到：

甲每次投出一個球和乙每次接到一個球，動量變化量仍然是相等的。請同學們嘗試列下方程，甲投出一個球，乙接到一個球，甲再投出一個球，乙再接到一個球。好好感受下。

我們也可以等效思想，設甲投出 n 個球且乙接到 n 個球後兩人的速度相等，那麼等效甲一次把 n 個球都投出，乙一次把甲投出的 n 個球都接到手，那麼對這類問題就簡單了。

此模型的萬能公式，我本來原先找到了，但是公式非常複雜，計算量特別大，要解四次方程，並不是一個好方法。所以萬能公式目前正在探索中，下期再見。

就講到這裡吧，若各位同學對講解有疑問，可以通過私信問我。若有發現錯誤和更好的意見，請斧正。對此表示真誠的感謝。

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