【解題技巧】壓軸導數大題的一種巧妙解題通法！
一、題型描述
不等式恆成立問題：導數大題中，條件已知函數
與某個常數之間恆定的大小關係，求函數中包含的參數取值範圍的題型。
二、技巧講解
先放道例題：
【例題1】（2007·全國Ⅰ理）設函數
（Ⅰ）證明：，
的導數
；
（Ⅱ）若對所有
都有
，求
的取值範圍.
本題目參考答案如下：
以上參考答案中，先不說那個根 對廣大導數渣渣的挑釁，就連
以及
的討論標準就夠你們忙乎的！
今天要講的內容，就是要「克」這種難以通過參變分離解決的不等式恆成立問題！對，克它！
1、端點效應思想：當無法應用「參變分離法」時，「分析函數法」勢在必行。但，我們可以先通過——「既然恆成立，代入端點值也成立」的思路列出不等式，縮小參數的求解範圍，以便更快解題。
求解步驟：
Step1. 端點效應縮小範圍
既然恆成立，代入端點值也成立。從而列出「端點處」的不等式，縮小參數範圍。
註：列完「端點效應式」後，要在後面補充一句：「否則，存在x∈?（定義域）使得f(x)…，與題意矛盾。」
上圖講解：
若
（含參數
）在
（
為常數）恆成立，則
在區間
端點處也成立。即，
——應用於，區間端點函數值包含參數的情形。
若
（含參數
）在
（
為常數）恆成立，且
，則有，
或
——應用於，區間端點函數值
，即不含參數的情形。
若
（含參數
）在
（
為常數）恆成立，且
或
，則有，
或【
】——應用於，區間端點函數值
且導數值
，即函數導數值均不含參數。中括弧內易錯，請大家結合凹凸性考慮區間右端點其他情況。。。。更高維度，不會考的。
通過第 1 步可以縮小參數的範圍，往往很多考題中，我們得到的範圍就是最終的結果。但是，如果只做到以上那麼多，就算結果對了，也得不了幾分。這屬於蒙中的。接下來，繼續正常求導，只是，需要讓剛剛得到的參數範圍幫幫忙。
Step2. 放縮判斷導函數正負
縮小了參數的範圍，但依然要求函數的最值。只是求導的時候，可以結合已求參數範圍，從而判斷導函數的符號，幫助快速確定函數的單調性。
Step3. 求最值，列參數不等式
當確定函數單調性後，可以求出函數的最值（含參數）。列出最值不等式，並求解出參數範圍即可。
接下來，就先解決剛剛那道10多年前的高考題！
【例題1】（2007·全國Ⅰ理）設函數
（Ⅰ）證明：，
的導數
；（Ⅱ）若對所有
都有
，求
的取值範圍.
題爸爸解析：
（Ⅰ）略；
（Ⅱ） 對於
恆成立
對於
恆成立
設
因為 ，所以
（否則，存在
使得
，與題意矛盾）
所以有
【以上為必要性縮小 a 的範圍】
所以單調遞增
所以
【以上為充分性求出結果，最後因為 0≥0 並未再解出新的關於 a 的不等式，所以 a≤2 就是本題結果】
綜上所述，
再放一題：
【例題2】（2010·新課標理）設函數
（Ⅰ）若．
，求
的單調區間；
（Ⅱ）若當
時
，求
的取值範圍．
題爸爸解析：
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）由題 對於
恆成立
所以 （否則，存在
使得
，與題意矛盾）
所以有
【以上為必要性縮小 a 的範圍】
結合（Ⅰ）知， （此處可用第1問的結論得出，當然現求單調性也不麻煩。）
所以 單調遞增，
【以上為充分性求出結果，最後因為 0≥0 並未再解出新的關於 a 的不等式，所以 a≤1/2 就是本題結果】 綜上所述，
最後附上本題的常規解法：
端點效應，你學會了嗎？
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