湍流与重整化（2）：N-S方程的微扰展开

穆朗：湍流与重整化（0）

穆朗：湍流与重整化（1）：谱空间上的N-S方程

在前一节中，我们已经给出了N-S方程在谱空间的形式，我们可以将速度场中的圆频率和谱空间位矢更紧凑地用 $mathbf{hat{k}}inmathbb{R}^4$ 表示

$(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)hat{u}_i(mathbf{hat{k}})=-mathbb{i}k_mP_{ij}(mathbf{k}) int_{mathbf{hat{p}}}hat{u}_j(mathbf{hat{p}})hat{u}_m(mathbf{hat{k}}-mathbf{hat{p}})dmathbf{hat{p}}$

从现在开始，我们只考虑时间平稳的均匀各项同性湍流（Homogeneous Isotropic Stationary Turbulence）.

由于粘性的存在，为了维持平稳湍流，我们需要在方程右侧人为添加一个高斯随机扰动项 $f_j(mathbf{k},omega)$ 作为系统的能量输入. 该随机扰动项同样应该满足不可压缩，时间平稳和各向同性的特点. 此外，我们还将在非线性项前添加一个耦合常数用于后续进行的微扰展开. 最终我们得到：

$(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)hat{u}_i(mathbf{hat{k}})=f_i(mathbf{hat{k}})- lambda mathbb{i} k_mP_{ij}(mathbf{k})int_{mathbf{hat{p}}}hat{u}_j(mathbf{hat{p}})hat{u}_m(mathbf{hat{k}}-mathbf{hat{p}})dmathbf{hat{p}}$ （1）

首先，我们考虑的情形，即完全关闭非线性项，只保留线性部分，此时N-S方程就退化成了Langevin方程

$(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)hat{u}^{(0)}_i(mathbf{hat{k}})=f_i(mathbf{hat{k}})$ （2）

式（2）的解为

$hat{u}^{(0)}_i(mathbf{hat{k}})=(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)^{-1}f_i(mathbf{hat{k}})=G_0(mathbf{hat{k}})f_i(mathbf{hat{k}})$ （3）

接下来，我们打开非线性项，但假定 . 此时我们可以将这个弱耦合版本的「N-S方程」的解写作关于耦合常数的渐进展开：

$hat{u}_i(mathbf{hat{k}})=hat{u}_i^{(0)}(mathbf{hat{k}})+lambda hat{u}_i^{(1)}(mathbf{hat{k}})+lambda^2 hat{u}_i^{(2)}(mathbf{hat{k}}) + .....$ （4）

接下来我们将展开式（4）代回式（1），为了使得表达更加紧凑，我们暂时舍弃尖角上标和变数，并将投影张量用一个抽象的算符表示，从而式（1）可以简写成：

$u = u^{(0)}+lambda G_0P{u*u}$

代入展开式（4）：

$u^{(0)}+lambda u^{(1)} + lambda^2 u^{(2)}+.... = u^{(0)}+lambda G_0P{(u^{(0)}+lambda u^{(1)} + lambda^2 u^{(2)}+....)*(u^{(0)}+lambda u^{(1)} + lambda^2 u^{(2)}+....)}$

通过对比齐次项，我们可以得到各阶系数如下

$u^{(1)}=G_0P{u^{(0)}*u^{(0)}},$

$u^{(2)}=2 G_0P{u^{(0)}*u^{(1)}}$

$u^{(3)}=2G_0P{u^{(2)}*u^{(0)}}+G_0P{u^{(1)}*u^{(1)}}，...$

不难看出，通过进一步的迭代，所有系数最后都可以通过线性解 $u^{(0)}$ 和其格林函数构造出来. 在的保证下，通过渐进展开截断求和，我们就可以获得到弱非线性的N-S方程在任意给定精度下的解. （撒花！）

然鹅残酷的是，在真实湍流中耦合常数理应取1，意味著我们将要处理的是一个强耦合的非线性系统。渐进展开式（4）是发散的！摔！怎么办呢？

这个时候，隔壁物理系的同学慷慨地递过来他们的作业本，「喏，QFT还是Phase transition，你挑一个抄吧」。

我横竖睡不著，仔细看了半夜，才从字缝里看出字来，满本都写著三个字是『重整化』！」

统计物理里的重整化和量子场论里的重整化是什么关系？?

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是的，从这里开始，我们前进的道路就要开始分叉了。我们可以选择抄量子场论的作业，画费曼图刚正面，直接研究渐进展开式（4）中的各项，是为Renormalization Perturbation Theory (RPT)路线。有意思的是，这最终将带领我们回到Kraichinan的Direct-interaction Approximation理论的一种等价形式上来。或者我们选择抄统计物理的作业，运用重整化群和自相似对粘性系数和耦合系数不断进行重新标定，最终得到一个降低自由度的有效理论，是为Renormalization Group (RG)路线。

在接下来的旅途里，我们将首先沿著RG路线尝试著攀登湍流这座野蛮巨峰，一直爬到Yakhot & Orzsag (1986)的山难现场。如果后面有时间的话，我会再试著沿著RPT路线，重新攀登Wyld (1961) 走过的艰险北壁，抵达 Kraichinan (1958)设立的DIA营地.

诸位，Bon voyage.