湍流與重整化（2）：N-S方程的微擾展開

穆朗：湍流與重整化（0）

穆朗：湍流與重整化（1）：譜空間上的N-S方程

在前一節中，我們已經給出了N-S方程在譜空間的形式，我們可以將速度場中的圓頻率和譜空間位矢更緊湊地用 $mathbf{hat{k}}inmathbb{R}^4$ 表示

$(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)hat{u}_i(mathbf{hat{k}})=-mathbb{i}k_mP_{ij}(mathbf{k}) int_{mathbf{hat{p}}}hat{u}_j(mathbf{hat{p}})hat{u}_m(mathbf{hat{k}}-mathbf{hat{p}})dmathbf{hat{p}}$

從現在開始，我們只考慮時間平穩的均勻各項同性湍流（Homogeneous Isotropic Stationary Turbulence）.

由於粘性的存在，為了維持平穩湍流，我們需要在方程右側人為添加一個高斯隨機擾動項 $f_j(mathbf{k},omega)$ 作為系統的能量輸入. 該隨機擾動項同樣應該滿足不可壓縮，時間平穩和各向同性的特點. 此外，我們還將在非線性項前添加一個耦合常數用於後續進行的微擾展開. 最終我們得到：

$(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)hat{u}_i(mathbf{hat{k}})=f_i(mathbf{hat{k}})- lambda mathbb{i} k_mP_{ij}(mathbf{k})int_{mathbf{hat{p}}}hat{u}_j(mathbf{hat{p}})hat{u}_m(mathbf{hat{k}}-mathbf{hat{p}})dmathbf{hat{p}}$ （1）

首先，我們考慮的情形，即完全關閉非線性項，只保留線性部分，此時N-S方程就退化成了Langevin方程

$(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)hat{u}^{(0)}_i(mathbf{hat{k}})=f_i(mathbf{hat{k}})$ （2）

式（2）的解為

$hat{u}^{(0)}_i(mathbf{hat{k}})=(mathbb{i}omega+ u |mathbf{k}|^2)^{-1}f_i(mathbf{hat{k}})=G_0(mathbf{hat{k}})f_i(mathbf{hat{k}})$ （3）

接下來，我們打開非線性項，但假定 . 此時我們可以將這個弱耦合版本的「N-S方程」的解寫作關於耦合常數的漸進展開：

$hat{u}_i(mathbf{hat{k}})=hat{u}_i^{(0)}(mathbf{hat{k}})+lambda hat{u}_i^{(1)}(mathbf{hat{k}})+lambda^2 hat{u}_i^{(2)}(mathbf{hat{k}}) + .....$ （4）

接下來我們將展開式（4）代回式（1），為了使得表達更加緊湊，我們暫時捨棄尖角上標和變數，並將投影張量用一個抽象的算符表示，從而式（1）可以簡寫成：

$u = u^{(0)}+lambda G_0P{u*u}$

代入展開式（4）：

$u^{(0)}+lambda u^{(1)} + lambda^2 u^{(2)}+.... = u^{(0)}+lambda G_0P{(u^{(0)}+lambda u^{(1)} + lambda^2 u^{(2)}+....)*(u^{(0)}+lambda u^{(1)} + lambda^2 u^{(2)}+....)}$

通過對比齊次項，我們可以得到各階係數如下

$u^{(1)}=G_0P{u^{(0)}*u^{(0)}},$

$u^{(2)}=2 G_0P{u^{(0)}*u^{(1)}}$

$u^{(3)}=2G_0P{u^{(2)}*u^{(0)}}+G_0P{u^{(1)}*u^{(1)}}，...$

不難看出，通過進一步的迭代，所有係數最後都可以通過線性解 $u^{(0)}$ 和其格林函數構造出來. 在的保證下，通過漸進展開截斷求和，我們就可以獲得到弱非線性的N-S方程在任意給定精度下的解. （撒花！）

然鵝殘酷的是，在真實湍流中耦合常數理應取1，意味著我們將要處理的是一個強耦合的非線性系統。漸進展開式（4）是發散的！摔！怎麼辦呢？

這個時候，隔壁物理系的同學慷慨地遞過來他們的作業本，「喏，QFT還是Phase transition，你挑一個抄吧」。

我橫豎睡不著，仔細看了半夜，才從字縫裡看出字來，滿本都寫著三個字是『重整化』！」

統計物理裏的重整化和量子場論裏的重整化是什麼關係？?

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是的，從這裡開始，我們前進的道路就要開始分叉了。我們可以選擇抄量子場論的作業，畫費曼圖剛正面，直接研究漸進展開式（4）中的各項，是為Renormalization Perturbation Theory (RPT)路線。有意思的是，這最終將帶領我們回到Kraichinan的Direct-interaction Approximation理論的一種等價形式上來。或者我們選擇抄統計物理的作業，運用重整化羣和自相似對粘性係數和耦合係數不斷進行重新標定，最終得到一個降低自由度的有效理論，是為Renormalization Group (RG)路線。

在接下來的旅途裏，我們將首先沿著RG路線嘗試著攀登湍流這座野蠻巨峯，一直爬到Yakhot & Orzsag (1986)的山難現場。如果後面有時間的話，我會再試著沿著RPT路線，重新攀登Wyld (1961) 走過的艱險北壁，抵達 Kraichinan (1958)設立的DIA營地.

諸位，Bon voyage.