函数之『朗伯W函数』

定义函数 $f(x)=xcdot e^{x}$ ，其中为任意复数。那么定义其反函数，则对任意的复数均有：

$x=W(x)cdot e^{W(x)}$

由于函数不是单射的，因此函数是多值的(除了0以外)。

如果我们把限制为实数，并要求是实数，那么函数仅对于 $x ≥ ?frac{1}{e}$ 有定义，在 $(?frac{1}{e}, 0)$ 内是多值的；如果加上的限制，则定义了一个单值函数 $W_{0}(x)$ 。我们有 $W_{0}(0) = 0$ ， $W_{0}(?frac{1}{e}) = ?1$ 。而在 $[?frac{1}{e}, 0)$ 内的分支，则记为 $W_{?1}(x)$ ，从 $W_{?1}(?frac{1}{e}) = ?1$ 递减为 $W_{?1}(0^{?}) = ?∞$ 。

朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如。

$^nz=lim_{n ightarrow infty}{(zuparrowuparrow n)}=-frac{W(-ln z)}{ln z}$

若，则

泰勒级数：

$W_{0}$ 在

的泰勒级数如下：

$W_{0}(x)=sum_{n=1}^{infty}{frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^{n}}=x-x^{2}+frac{3}{2}x^{3}-frac{8}{3}x^{4}+frac{125}{24}x^{5}-…$

收敛半径为 $frac{1}{e}$ 。

加法定理：

$W(x)+W(y)=W[frac{xy}{W(x)}+frac{xy}{W(y)}]$ ，

复数值：

$x^2+y^2<frac{1}{e^2}$

实部——

$R[W(x+yi)]=sum_{k=1}^{infty}{frac{(-k)^{k-1}}{k!}sqrt{(x^{2}+y^{2})^{k}}cos (kcdot arctan frac{x}{y})}$ 虚部—— $J[W(x+yi)]=sum_{k=1}^{infty}{frac{(-k)^{k-1}}{k!}sqrt{(x^{2}+y^{2})^{k}}sin(kcdot arctanfrac{x}{y})}$ 模长——

模角—— $arg[W(x+yi)]=sum_{k=1}^{infty}{frac{(-k)^{k-1}}{k!}arctan[cot(kcdot arctanfrac{x}{y})]}$ 共轭值—— $ar{W(x+yi)}=R[W(x+yi)]=sum_{k=1}^{infty}{frac{(-k)^{k-1}}{k!}sqrt{(x^{2}+y^{2})^{k}}[cos(kcdot arctanfrac{x}{y})}-icdot sin(kcdot arctanfrac{x}{y})]$

特殊值——

$W(-frac{pi}{2})=frac{pi}{2}i$ $W(-frac{ln 2}{2})=-ln 2$ $W(-frac{1}{e})=-1$ $W(1)=Omega=frac{1}{int_{-infty}^{infty}frac{dx}{(e^x-x)^2+pi^2}}-1approx 0.56714329...$

$W(e^{e+1})=e$ $W(frac{1}{e^{1-frac{1}{e}}})=frac{1}{e}$ $W(-frac{1}{e})=-1$

$W(-frac{3}{2}pi)=-frac{3}{2}pi i$ $W(-frac{sqrt[7]{8}}{7}ln2)=-frac{32}{7}ln2$ $W(-frac{sqrt{3}}{54}ln3)=-frac{9}{2}ln3$ $W(-frac{ln2}{4})=-4ln2$ $W(-1)=frac{e^{frac{1}{2pi}int_{0}^{infty}frac{1}{t+1}arctanfrac{2pi}{t-ln t}dt}-cos R_{1}+pi sin R_{1}-i(pi cos R_{1}+sin R_{1})}{e^{frac{1}{2pi}int_{0}^{infty}frac{1}{t+1}arctanfrac{2pi}{t-ln t}dt}}$ 其中 $R_1=frac{1}{4pi}int_{0}^{infty}frac{1}{t+1}lnfrac{(t-ln t)^{2}}{4pi^2+(t-ln t)^2}dt$

$W(-frac{ln k}{k})=-ln k$

$W[-frac{ln(x+1)}{x(x+1)^{frac{1}{x}}}]=-frac{x+1}{x}ln(x+1)$ ，

例子：

$Rightarrow 1=frac{5t}{2^t}$ $Rightarrow 1=5tcdot e^{-tln2}$ $Rightarrow frac{1}{5}=tcdot e^{-tln2}$ $Rightarrow -frac{ln2}{5}=(tln2)cdot e^{-tln2}$ $Rightarrow -tln2=W_{k}(-frac{ln2}{5})$ $Rightarrow t=-frac{W_{k}(-frac{ln2}{5})}{ln2}$

$Q^{ax+b}=cx+d$

其中

$Rightarrow frac{a}{c}Q^{ax+b}=ax+frac{ad}{c}$ ，(乘 $frac{a}{c}$ ) $Rightarrow frac{a}{c}Q^{b}=(ax+frac{ad}{c})Q^{-ax}$ ，(除以 $Q^{ax}$ ) $Rightarrow frac{a}{c}Q^{b-frac{ad}{c}}=(ax+frac{ad}{c})Q^{-(ax+frac{ad}{c})}$ (除以 $Q^{frac{ad}{c}}$ ) $Rightarrow frac{a}{c}Q^{b-frac{ad}{c}}=tQ^{-t}$ ，(令 $t=ax+frac{ad}{c}$ ) $Rightarrow t(e^{ln Q})^{-t}=frac{a}{c}Q^{b-frac{ad}{c}}$ $Rightarrow tln Qcdot e^{-tln Q})=ln Qcdot frac{a}{c}Q^{b-frac{ad}{c}}$ ，(乘

) $Rightarrow tlnQ=-W_{k}(-ln Qcdot frac{a}{c}Q^{b-frac{ad}{c}})=-W_{k}(-frac{aln Q}{c}Q^{b-frac{ad}{c}})$ ，(W函数) $Rightarrow (ax+frac{ad}{c})ln Q=-W_{k}(-frac{aln Q}{c}Q^{b-frac{ad}{c}})$ ，(代入t)

$x=-frac{W_{k}(-frac{aln Q}{c}Q^{b-frac{ad}{c}})}{aln Q}-frac{d}{c}$

$x=frac{ln t}{W(ln t)}$ 或

$x=e^{W_{k}(ln t）}$

$xlog_{b}x=a$

$x=frac{aln b}{W_{k}(aln b)}$

$x=-frac{a}{ln b}W_{k}(-frac{ln b}{a})$

$(ax+b)^n=u^{cx+d}$

$x_{k}=-frac{n}{cln u}W_{k}[-frac{cln u}{na}u^{frac{d}{n}-frac{cb}{na}}(cosfrac{2kpi}{n}+isinfrac{2kpi}{n})]-frac{b}{a}$

$e^{-cx}=a(x-r)$

其中为实常数

$x=r+frac{W(frac{ce^{-cr}}{a})}{c}$

递推关系：

$omega _{j-1}=omega _{j}-frac{omega _{j}e^{omega _{j}}-z}{e^{omega _{j}}(omega _{j}+1)-frac{(omega _{j}+2)(omega _{j}e^{omega _{j}}-z)}{omega _{j}+2}}$