Functional Analysis Week 8

第八周第一次課正式討論緊運算元的性質

定義：令為Banach空間，稱為完全連續的如果中每一個弱收斂序列 ${x_n}_{n=1}^infty ightharpoonup x_infty$ 的像 ${K(x_n)}_{n=1}^infty$ 都強收斂

引理：令為Banach空間，，則

(i) 是緊的是完全連續的

(ii) 是完全連續的且是自反的是緊的

證明：(i) 設是緊的，取中一個弱收斂序列 ${x_n}_{n=1}^infty ightharpoonup x_infty$ ，如果 ${K(x_n)}_{n=1}^infty rightarrow K(x_infty)$ ，則和一個子列 ${x_{epsilon,n}}_{n=1}^infty$ 使得 $|K(x_{epsilon,n}-x_infty)|>epsilon,forall n$ .

由於 ${x_n}_{n=1}^infty$ 弱收斂，根據 Uniformly Bounded Principle 其一定是有界的（對任意有界線性泛函，由於 ${Lambda(x_n)}_{n=1}^infty oLambda(x_infty)$ ，按定義就有 ${i_X(x_n)(Lambda)}_{n=1}^infty o i_X(x_infty)(Lambda)$ ，故我們可以對 ${i_X(x_n)}_{n=1}^inftysubset X^{**}$ 用 Uniformly Bounded Principle得到 $sup_{n}|i_X(x_n)|_{X^{**}}<infty$ ，而由於是 $X o X^{**}$ 的等距運算元，我們有 $sup_{n}|x_n|<infty$ ）我們設 . 那麼其子列 ${x_{epsilon,n}}_{n=1}^infty$ 一定也是有界的，又由於是緊的，進一步有一個 ${x_{epsilon,n}}_{n=1}^infty$ 的子序列 ${x_{epsilon,n}}_{n=1}^infty$ 使得 ${K(x_{epsilon,n})}_{n=1}^infty$ 收斂到某個 . 但是對任意我們都有 $phi(y)=lim_{n oinfty}phi(K(x_{epsilon,n}))=lim_{n oinfty}K^ u(phi)(x_{epsilon,n})=K^ u(phi)(x_infty)=phi(K(x_infty))$ ，故有，矛盾。

(ii) 設是完全連續的且是自反的，令 ${x_n}_{n=1}^infty$ 為一有界序列，那麼由於是自反的，存在一個弱收斂的子列 ${x_{n}}_{n=1}^infty$ （不知道是我想岔了還是什麼但是我覺得這個似乎沒那麼顯然，現在能想到的最快的證法：由於 ${x_n}_{n=1}^infty$ 為一有界序列，根據的等距性對應到 $X^{**}$ 中 ${i_X(x_n)}_{n=1}^infty$ 也是一個有界序列，那麼由於是自反的是 $X o X^{**}$ 的等距同構，對用Banach-Alaoglu定理，得知 $X^{**}$ 的單位球在弱**拓撲（雖然不知道這樣叫對不對但是就是作為原空間的弱*拓撲了）下是緊的，故有界序列 ${i_X(x_n)}_{n=1}^infty$ 有一個弱**收斂的子列，即該子列被任一 $X^{***}$ 的元素作用後都收斂，而由於自反也是自反的，那麼任意 $X^{***}$ 元素作用到 $X^{**}$ 的子列可以等同成任意 $X^{*}$ 的元素作用在的對應子列上都收斂，故存在一個弱收斂的子列 ${x_{n}}_{n=1}^infty$ ），那麼由於是完全連續的，其像 ${K(x_{n})}_{n=1}^infty$ 強收斂，即是緊的

定理：令為 Banach空間，則

(i) 令，如果和有一個是緊的，那麼是緊的

(ii) 中的所有緊運算元構成一個Banach空間（於是緊運算元收斂到緊運算元）

(iii) 是緊的當且僅當其對偶是緊的

證明：(i) 如果是緊的，令 ${x_n}_{n=1}^infty$ 為一有界序列，存在一個子列 ${x_{n}}_{n=1}^infty$ 使得 ${A(x_{n})}_{n=1}^infty$ 收斂，那麼由於有界得到 ${BA(x_{n})}_{n=1}^infty$ 收斂，故是緊的

如果是緊的，令 ${x_n}_{n=1}^infty$ 為一有界序列，則由於有界， ${A(x_{n})}_{n=1}^infty$ 為有界序列，由於是緊的得到一個子列 ${A(x_{n})}_{n=1}^infty$ 使得 ${BA(x_{n})}_{n=1}^infty$ 收斂，故是緊的

(ii) 令 ${K_i}_{i=1}^infty$ 為中的Cauchy列收斂到，令 ${x_n}_{n=1}^infty$ 為一有界序列，由於是緊的，存在子序列 ${x_{n,1}}_{n=1}^infty$ 使得 ${K_1(x_{n,1})}_{n=1}^infty$ 收斂，再由於是緊的，存在 ${x_{n,1}}_{n=1}^infty$ 的子序列 ${x_{n,2}}_{n=1}^infty$ 使得 ${K_1(x_{n,2})}_{n=1}^infty$ 收斂，持續這個過程我們得到對每個都有 ${x_{n,m}}_{n=1}^infty$ 使得 ${K_1(x_{n,m})}_{n=1}^infty$ 收斂，然後當然就用大家喜聞樂見的對角線大法得到 ${x_{n,n}}_{n=1}^infty$ ，我們斷言 ${K_infty(x_{n,n})}_{n=1}^infty$ 是收斂的，實際上由於是Banach的，我們只需要證明 ${K_infty(x_{n,n})}_{n=1}^infty$ 是Cauchy的，然後我們就需要數分裡面那一套了。設 $|x_n|<M,forall ninmathbb{N}$ ，由於 ${K_i}_{i=1}^infty o K_infty$ ，使得 $|K_infty-K_i|<frac{epsilon}{3M},forall ige N_1$ . 由於 ${K_{N_1}(x_{n,N_1})}_{n=1}^infty$ 收斂， ${K_{N_1}(x_{n,n})}_{n=1}^infty$ 收斂，於是使得都有 $|K_{N_1}(x_{m,m})-K_{N_1}(x_{n,n})|<frac{epsilon}{3}$ ，於是根據我們百玩不膩的數學分析裡面的大法我們得到 $|K_infty(x_{n,n})-K_infty(x_{m,m})|le|K_infty(x_{n,n})-K_{N_1}(x_{n,n})|+|K_{N_1}(x_{n,n})-K_{N_1}(x_{m,m})|+|K_{N_1}(x_{m,m})-K_infty(x_{m,m})|<epsilon$

故有 ${K_infty(x_{n,n})}_{n=1}^infty$ 是Cauchy的，即證是緊的

(iii) 前面兩個都是玩一玩定義和簡單的分析技巧，這個的證明就不是跑定義那麼簡單了

令為一個緊運算元，那麼 $M=overline{Koverline{(B_1(0_X))}}$ 是緊的，我們需要證明 $overline{K^ uoverline{(B_1(0_{Y^*}))}}$ 是緊的。令 $phiinoverline{B_1(0_{Y^*})}$ ，那麼 . 由於是上的連續函數，即，我們可以考慮用最大值定義的新範數 $|phi|_C=sup_{yin M}|phi(y)|$ . 按定義有 $sup_{yin M}|phi(y)|=sup_{xinoverline{B_1(0_X)}}|phi(K(x))|$ ，再按照的定義得到 $sup_{xinoverline{B_1(0_X)}}|phi(K(x))|=sup_{xinoverline{B_1(0_X)}}|K^ u(phi)(x)|=|K^ u(phi)|le|K^ u||phi|le|K^ u|=|K|$ ，最後一個等號是因為前面已經證明到其對偶的映射是個等距的，於是我們得到，說明在新範數下被一致控制了，於是 $overline{B_1(0_{Y^*})}subset C(M)$ 是有界的子集。進一步由於，我們知道 $overline{B_1(0_{Y^*})}$ 是等度連續的，於是根據 Arzelà-Ascoli定理 $overline{B_1(0_{Y^*})}$ 的閉包是緊的，而 $overline{B_1(0_{Y^*})}$ 本身就是閉的，故 $overline{B_1(0_{Y^*})}$ 是緊的。再令任一 ${K^ u(phi_n)}_{n=1}^inftysubset K^ u(overline{B_1(0_{Y^*})})$ ，則由於 $overline{B_1(0_{Y^*})}$ 在下是緊的， ${phi_n}_{n=1}^infty$ 有子序列 ${phi_{n}}_{n=1}^infty$ 在中是Cauchy的，那麼按定義有 $|K^ u(phi_{n}-phi_{m})|=|phi_{n}-phi_{m}|_C$ 也是Cauchy的，則說明 $overline{K^ uoverline{(B_1(0_{Y^*}))}}$ 是緊的，故是緊的。

反過來，令是緊的，則根據上面結果 $K^{ u u}$ 是緊的，令 ${x_n}_{n=1}^infty$ 為一有界序列，那麼對應的 ${i_X(x_n)}_{n=1}^inftysubset X^{**}$ 也是有界的，由於 $K^{ u u}$ 是緊的，我們可以找到 ${i_X(x_n)}_{n=1}^infty$ 的子列 ${i_X(x_{n})}_{n=1}^infty$ 使得 ${K^{ u u}(i_X(x_{n}))}_{n=1}^infty$ 收斂，由於 $K^{ u u}(i_X(x))=i_Y(K(x))$ 而 $i_Y:Y o Y^{**}$ 是等距的，我們得到 ${K(x_{n})}_{n=1}^infty$ 也是Cauchy的，即 ${x_n}_{n=1}^infty$ 的子列 ${x_{n}}_{n=1}^infty$ 使得 ${K(x_{n})}_{n=1}^infty$ 是Cauchy的，故是緊的

推論：有限秩運算元收斂到緊運算元

證明：有限秩運算元的像空間是有限維的，任何有限維賦范向量空間都和歐式空間等價，而後者有界閉集和緊等價，於是有限秩運算元都是緊運算元，於是用上面定理的(ii)

接下來進入譜理論了，按照prof.的說法 "We have been doing algebra on Banach spaces for weeks and its time to play some calculus."

引理：令為一個Banach空間，令為一個連續映射，那麼使得都有

證明：對定義 $v_n:=sum_{k=0}^{2^n-1}frac{b-a}{2^n}c(a+frac{k(b-a)}{2^n})$ 並令 $delta_n=sup_{|s-t|le 2^{-n}(b-a)}|c(s)-c(t)|$ ，那麼由於閉區間上的連續函數一定一致連續，我們有 $lim_{n oinfty}delta_n=0$ ，於是我們有 $|v_{n+m}-v_n|=|sum_{k=0}^{2^{n+m}-1}frac{b-a}{2^{n+m}}c(a+frac{k(b-a)}{2^{n+m}})-sum_{k=0}^{2^n-1}frac{b-a}{2^n}c(a+frac{k(b-a)}{2^n})|lesum_{k=0}^{2^n-1}frac{b-a}{2^n}delta_n=(b-a)delta_n o0$

於是 ${v_n}_{n=1}^infty$ 是Cauchy的，由於為一個Banach空間， ${v_n}_{n=1}^infty$ 收斂到，那麼對於都有 $phi(v)=lim_{n oinfty}phi(v_n)=sum_{k=0}^inftyfrac{b-a}{2^n}phi(c(a+frac{k(b-a)}{2^n}))$ ，按照Riemann積分的定義後者即為，存在性證畢，對於唯一性我們還是用Hahn Banach定理的推論（弱拓撲是Hausdorff的）馬上得到

由此我們可以定義上面得到唯一的為在上的積分

能在Banach空間裡面定義積分之後我們Riemann積分的各種結論都可以沒有難度地照搬下來

引理：（各條件顯然），則

(i)

(ii)

(iii) 對於 ,

(iv) 如果存在，

(v) chain rule holds

(vi) $frac{d}{dt}int_a^t f(t)dt=f(t)$

(vii)

接下來讓我們在Banach空間上做complex analysis

定義：令為一個復Banach空間，為開子集，連續，則稱為全純的如果對都有 $f(z)=lim_{h o0}frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ 存在且連續

引理：令為復Banach空間，為開子集，，則下列敘述等價：

(i) 是全純的

(ii) 是全純的對

(iii) $phi(A(w)x)=frac{1}{2pi i}int_{|z-z_0|=r}frac{phi(A(z)x)}{z-w}dz$ 對

證明：(i)到(ii)是定義，(ii)到(iii)不用說也知道是Cauchy積分公式了，(iii)到(i)的證明可以照搬複分析的過程（所以其實我這裡啥都沒證）

討論一個比較簡單的例子（順帶複習一下Cauchy積分公式？），令為有限維的Hermitian矩陣，定義運算元 $Pi_lambda:=frac{1}{2pi i}int_{|z-lambda|=epsilon}(zI-A)^{-1}dz$ ，那麼它是到特徵值對應特徵子空間的投影，因為任取對應的單位特徵向量，都有

$left<Pi_lambda v_mu,v_ u ight>=left<frac{1}{2pi i}int_{|z-lambda|=epsilon}(zI-A)^{-1}v_mu dz,v_ u ight>=frac{1}{2pi i}int_{|z-lambda|=epsilon}left<(zI-A)^{-1}v_mu,v_ u ight>dz$

$=frac{1}{2pi i }int_{|z-lambda|=epsilon}left<(z-mu)^{-1}v_mu,v_ u ight>=frac{delta_{mu<br /> u}}{2pi i } int_{|z-lambda|=epsilon}frac{dz}{z-mu}$

如果我們總可以取足夠小使得 $frac{1}{2pi i } int_{|z-lambda|=epsilon}frac{dz}{z-mu}=0$ ，那麼，說明，如果根據Cauchy積分公式我們有 $left<Pi_lambda v_lambda,v_ u ight>=delta_{lambda<br /> u}$ ，即說明

在譜分析中我們後面想做的一件事就是通過類似的方式來引入投影運算元

下面正式引入譜的定義。在線性代數中我們提到矩陣的特徵值是指有非零向量使得，即有非零解，那麼不是一個雙射（其實是因為不是一個單射但是有限維空間到自身的運算元單滿可逆等價）。但是在上一周的內容我們已經看到了無窮維的空間運算元的單滿性關係變得十分subtle，但是第一步我們可以把上面的討論進行推廣。

定義：令為復Banach空間， . 定義的譜為

一個運算元的譜可以被分成不相交的三部分，其中 $P_sigma(A)={lambdainmathbb{C}|(lambda I-A)mathrm{space is space notspace injective}}$ 是線性代數裡面很熟悉的Point Spectrum，因為那麼不是一個單射就有非零向量使得了

$R_sigma(A)={lambdainmathbb{C}|(lambda I-A)mathrm{space isspace injectivespace butspace thespace imagespace isspace notspace dense}}$ 稱為Residual Spectrum

$C_sigma(A)={lambdain mathbb{C}|(lambda I-A)mathrm{space isspace injectivespace withspace densespace imagespace butspace notspace surjective}}$ 稱為Continuous Spectrum.