我有特別的傅里葉展開技巧
//我本來是準備按照教材的流程來寫這篇文章的，但是後來覺得這樣很沒有意思，所以我直接按照我自己的理解來建立傅里葉級數展開，這也是為什麼叫這個標題的原因。可能涉及一點點泛函分析的知識，不過並不困難，文中我會說明的。適合看過一遍教材以後來換個角度理解。
傅里葉級數是基於一個問題產生的，這個問題就是：
既然 、
具有周期性，那麼任意周期函數是否都可以被展開成
、
表示的級數？
最終這個問題的答案當然是肯定的，將複雜振動分解為簡諧振動疊加的方法叫做調和分析，分解出來的這些簡諧振動叫做調和分量或調和素。
補充概念：
希爾伯特空間中的內積：
所謂希爾伯特空間（ Hilbert space）並沒有你想的那麼高大上，它其實就是線性空間的一個拓展。平時線性代數里研究的線性空間都是有限維的，這個有限維說的不是 取多少，而是基底是可數的。什麼叫可數什麼叫不可數，不是按照集合元素是否有限來劃分的，而是按照緻密性來劃分的。測度論的知識這裡就不多說了，簡單來說就是看連不連續。給你一個直觀感受：全體自然數這個集合是可數的，而
區間卻是不可數的。
那麼我們平時說的函數實際上就是無窮維線性空間里的「向量」，覺得不適應的來看兩個例子:
① ，
表示求導，實際上是微分運算元。為了和矩陣對應，所以採取這種柯西形式。
② ，
是實數。
怎麼樣，感受到「線性變換」了嗎？
所以： 這裡
表示內積，相當於有限維空間中的
。
這裡提一嘴柯西-施瓦茨不等式：
正交函數系
這個說白了就是一組函數 ，這些函數滿足相互正交（希爾伯特空間意義的正交）即
，
。（
就叫範數了，也就是模長）。
正交函數系的正規化
這個概念也很簡單，說白了就是要求正交函數系每個函數的範數是 （每個向量的模長是
）。即：
。
好，現在我們已經是有了希爾伯特buff的人了，現在再來看看教材上將周期函數展開成三角級數的式子：
，這裡改變符號只是為了避免混淆，係數積分里的
換成
並不影響係數積分，而積分外的
拿進來保留
符號也不影響原式的意義。
我們來把它拆一下看看會得到什麼東西： 表示希爾伯特內積，
表示有限維線性空間的內積。
首項：
餘弦項：
正弦項：
注意他們都是 的形式。
然後你看看：
這兩個都是自變數為 的正交函數系，
還是正規的。其中
表示項數。
所以我們寫出一個特別的傅里葉展開形式：
不妨寫為
這樣就揭示了傅里葉級數展開的本質：把一個函數展開成正交函數系，並且係數就是函數和該正交函數系的內積。
至於為什麼這裡用到了兩個正交函數系，是因為只有這樣的形式才具有完備性，證明過程實在是比較繁瑣又沒有必要，詳見各數學分析教材。這裡你就理解為：只有這種形式才能保證任何函數都可以這樣展開。眾所周知，奇函數展開只有正弦項，偶函數展開只有餘弦項。
實際上，知道了傅里葉展開這個本質，你任意選取正交函數系來展開函數都是允許的。
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