在「線性代數」中已經學過「(有窮維)線性空間、子空間、線性變換的不變子空間」的概念。而Fourier變換就可以視為是某個函數空間上的線性變換，一個很自然的想法就是考慮Fourier變換的不變子空間。顯然，函數空間 C^{infty}( mathbb{R} ) 和 C_c^{infty}(mathbb{R}) 都不是Fourier變換的不變子空間。

Schwartz空間

定義Schwartz空間 mathscr{S} (mathbb{R}^N) (取Schwartz的首字母S)，也稱為「速降函數空間」。

或

引入記號「日本括弧 left langle cdot ight angle 」定義為 leftlangle x ight angle := (1+|x|^2)^{1/2} 。不難驗證：

以下兩種半範數

sup_{x in mathbb R^n} left| x^{alpha} cdot D^{eta} varphi(x) ight| 和

sup_{x in mathbb R^n} left| left langle x ight angle^{alpha} cdot D^{eta} varphi(x) ight| := sup_{x in mathbb R^n} left| (1+|x|^2)^{frac{alpha}{2}} cdot D^{eta} varphi(x) ight|

兩者可以相互控制。

（記號「日本括弧 left langle cdot ight angle 」定義為 leftlangle x ight angle := (1+|x|^2)^{1/2} ）

Schwartz空間主要兩點性質：

  • 函數 infty 次可微；
  • 函數的模在無窮遠處衰減到0，並且衰減速度比多項式之倒數衰減速度快。

這就是為什麼稱為「速降函數空間」的原因。顯然， C_c^{infty} (mathbb{R}) subseteq mathscr{S} (mathbb{R}) subseteq C_0^{infty} (mathbb{R}) .

  • 例： forall f(x) in mathscr{S} (mathbb{R}^{N}) Rightarrow f(x) in L^p (mathbb{R}^{N}). 1<P> </li> </ul> <p><P>Proof: </P></p> <p><center> <script src=

    估計 | f |_p^p:= int_{mathbb{R}^N}|f(x)|^p dx 即可。

    egin{aligned} int_{mathbb{R}^N}|f(x)|^p dx& =int_{mathbb{R}^{N}} |f(x)|^p cdot (1+|x|)^{(N+1)p} cdot(1+|x|)^{-(N+1)p} dx \ & leq left( sup_{x} left| f(x)cdot (1+|x|)^{N+1} ight| ight)^p cdot int_{mathbb{R}^{N}}frac{1}{(1+|x|)^{(N+1)p}} dx \& leq C cdot [f]_{N+1,0}cdot int_{mathbb{R}^{N}}frac{1}{(1+|x|)^{(N+1)p}} dx end{aligned}

    利用球坐標換元，先做球面積分，再做徑向積分可得：

    egin{aligned} int_{mathbb{R}^N}|f(x)|^p dx& leq C cdot [f]_{(N+1,0)}cdot int_{mathbb{R}^{N}}frac{1}{(1+|x|)^{(N+1)p}} dx \& leq C cdot [f]_{N+1,0} cdot omega_N cdot int_{0}^{+infty}frac{r^{N-1}}{(1+r)^{(N+1)p}} dr \& leq C cdot [f]_{N+1,0} cdot int_{0}^{+infty}frac{1}{(1+r)^{2}} dr \& leq Ccdot [f]_{N+1,0} end{aligned}

    Schwartz空間的性質以及Schwartz函數類的Fourier變換

    • 對求導運算 frac{partial ^ alpha} {partial x^alpha} [ullet] 封閉、對乘以一個多項式（比如 x^alpha ）封閉。
    • Fourier變換 mathscr{F} : mathscr S( mathbb{R}^n ) ightarrow mathscr S ( mathbb{R}^n ) 是有界、線性運算元。

    顯然，mathscr{F} : mathscr S( mathbb{R}^n ) ightarrow mathscr S ( mathbb{R}^n ) 是線性的，下面證明運算元的有界性。

    這裡函數f(x) 的Fourier變換記為為 mathscr{F}(f) (xi) 或者 hat{f}(xi) 。

    可以看出， mathscr{F} 可以將微分運算化為乘法運算，將乘法化為微分。

    Fourier變換將微分運算化為乘法運算，將乘法化為微分

    有了上述兩條性質，我們就可以來估計 xi ^ alpha cdot D^eta ( mathscr{F}(f) )(xi) 的上界。

    先做「點態估計」，再在不等式兩端取上確界 sup_{x in mathbb{R}} 即可。

    egin{split} |~xi ^ alpha cdot D^eta ( mathscr{F}(f) )(xi) ~| & = |~ xi ^ alpha cdot mathscr{F} (~ (-2picdot icdot x)^{eta} cdot f(x) ~) ~| \ & simeq |~ mathscr{F}( D^{alpha}[ (-2picdot icdot x)^{eta} cdot f(x) ] )~| \ & leq Ccdot | D^{alpha}[ x^{eta} cdot f(x) ] |_{L_x^1} \ &=C cdot int_{mathbb R^n} frac{1}{(1+|x|)^{n+1}}cdot (1+|x|)^{n+1} cdot left| D^{alpha}[ x^{eta} cdot f(x) ] ight|~dx \ &leq C cdot sup_{x} { (1+|x|)^{n+1} left|D^{alpha}[ x^{eta} cdot f(x) ] ight| } cdot int_{mathbb R^n} frac{1}{(1+|x|)^{n+1}}~dx \& leq C cdot [f]_{alpha^{},eta^{}} end{split}

    這就證明了

    [ mathscr{F}(f) ( x ) ]_{ alpha, eta} leq C cdot sum_{alpha^{prime}, eta^{prime}}[ f(t) ]_{alpha^{prime}, eta^{prime} } .

    這裡的範數 [ cdot ]_{ alpha, eta} 是指Schwartz空間 mathscr S( mathbb{R}^n ) 的（半）範數，定義如前。

    Fourier變換的初等性質是容易驗證的.

    Fourier變換的初等性質

    廣義函數與緩增廣義函數及其Fourier變換

    先聲明幾個記號。

    1. Schwartz空間 (速降函數空間)： mathscr S (mathbb{R}^N)
    2. 緊支撐光滑函數空間裝備上速降函數空間半范： mathscr{D} (mathbb{R}^N) := ( C_c^{infty} (mathbb{R}^N), ho_{alpha , eta} ) 。

    可以證明

    mathscr{D} ( mathbb{R}^N) subseteq mathscr S (mathbb{R}^N) subseteq L^{p}( mathbb{R}^N ), 1 leq p < infty.

    • Def:
    1. mathscr{D} (mathbb{R}^N) 上的有界、線性泛函稱為廣義函數（或稱"分布"），記為 mathscr{D}^{prime} (mathbb{R}^N) ；
    2. mathscr{S} (mathbb{R}^N) 上的有界、線性泛函稱為緩增廣義函數("緩增分布")，記為 mathscr{S}^{prime} (mathbb{R}^N) 。

    實際上， mathscr{D}^{prime} (mathbb{R}^N) 就相當於 mathscr{D} (mathbb{R}^N) 的對偶空間，在泛函分析中也會學到。顯然 { mathscr{D}}^{}(mathbb{R}^N) supseteq { mathscr {S}}^{} (mathbb{R}^N).

    • Def: 對於可測函數 f(x) ，若 exists K geq 0, ext{s.t.} frac{f(x)}{(1+|x|)^{K}} in L^p(mathbb{R}), 1 leq p leq infty. 則稱 f(x) 為「緩增 L^p 函數」（ ext{Tempered}~L^p 函數）。

    因此，緩增 L^p 函數允許函數的模在無窮遠處趨於無窮大，但其增長速度不會超過某一多項式 (1+|x|)^{k} ，這就是為什麼叫「緩增函數」的原因，因為增長速度比多項式緩慢。

    可以證明

    L^{p} (mathbb{R}^N) subseteq ext{Tempered} L^{p}, 1 leq p leq infty.

    可以證明，每個"緩增 L^p 函數"都是「緩增分布」，即

    ext{Tempered} L^{p} (mathbb{R}^N) subseteq { mathscr{D}}^{}(mathbb{R}^N) , 1 leq p leq infty.

    Proof：

    設

    exists K geq 0, ext{s.t.} {(1+|x|)^{-K}cdot{f(x)}} in L^p(mathbb{R}^{N}), 1 leq p leq infty.

    要證明： L_f(varphi):=int_{mathbb{R}^{N}}f(x) varphi(x) dx 滿足 |L_f(varphi)| leq C cdot [ varphi ]_{alpha, eta} forall varphi in mathscr{S}(mathbb{R}^N).

    利用恆等變形，乘一個多項式除以一個多項式得：

    egin{aligned} |L_f(varphi)|& leq int_{mathbb{R}^{N}}|f(x) varphi(x) |dx \ & =int_{mathbb{R}^{N}} |f(x)| cdot (1+|x|)^{-K-N-1} cdot(1+|x|)^{K+N+1} cdot |varphi(x) | dx \ & leq [ varphi ]_{K+N+1,0}cdot int_{mathbb{R}^{N}} |f(x)| cdot (1+|x|)^{-K} cdot (1+|x|)^{-(N+1)}dx \ & leq | f(x)(1+|x|)^{-K}|_{p}cdot |(1+|x|)^{-(N+1)}|_{p prime} cdot [ varphi ]_{K+N+1,0} ( ext{Holder }leq~) \ & leq C cdot [ varphi ]_{K+N+1,0} , forall varphi in mathscr{S}(mathbb{R}^N). end{aligned}

    這裡 N 是空間 mathbb{R}^{N} 的維數。

    上式中的

    |(1+|x|)^{-(N+1)}|_{p prime} < +infty, p prime geq 1.

    這是因為被積函數只和 |x| 有關，它是徑向函數。

    所以考慮徑向函數積分公式以及球坐標變換，先做「球面積分」，再做「徑向積分」

    int_{x in mathbb{R}^N } g( |x| )dx= int_{0}^{+infty} g(r)cdot r^{N-1} dr cdot | partial mathbb{S}^{N}|

    其中 | partial mathbb{S}^{N}| 是指 mathbb{R}^N 中的單位球體的球面面積。這種處理對於「徑向函數」特別有效。實際上 mathbb{R}^N 空間球坐標變換的Jacobi行列式為

    J(r,~ heta_1,cdots,~ heta_{N-1}) =r^{N-1}cdot sin^{N-2}( heta_1)cdot sin^{N-3}( heta_2)cdots sin^{1}( heta_{N-2}) .

    所以

    egin{aligned} & { |(1+|x|)^{-(N+1)}|_{p^{}} }^{p^{}} \& =omega_{N}cdot int_{0}^{+infty} left( frac{ r^{N-1}} {(1+r)^{N+1}} ight)^{p^{}} dr \& simeq int_{0}^{+infty} left( frac{ 1} {(1+r)^2} ight)^{p^{}} dr <+infty. end{aligned}

    ===============待續==========================

    • Def：設 u in{ mathscr {S}}^{} (mathbb{R}^n) ，則 u 的Fourier變換 hat{u} 也是緩增廣義函數。作為有界線性泛函， hat{u} 的定義為 hat u(varphi):= u(hat{varphi}),~ forall~varphi in mathscr {S} (mathbb{R}^n) .

    可以看出，當 u,~varphi in mathscr {S} (mathbb{R}^n) 時，恆有 <hat u(xi),~varphi(xi)>=<u(x),~ hat varphi(x)> 。

    所以上述廣義函數的Fourier變換定義是特殊情形下Fourier變換性質的推廣。

    Fourier變換和Sobolev空間範數 | cdot |_{H^s} 的聯繫：

    | u |_{H^s} ^2 = int_{mathbb R} (1 + |xi|^2)^s cdot | hat{ u} (xi) |^2 dxi ，這裡

    { | u |_{H^s} } ^2={ | u |_{W^{s,2}} }^2 =sum_{i=0}^{s} | partial_iu |_{L^2} ^2 .~Rightarrow~{ | u |_{H^s} } =left(sum_{i=0}^{s} {| partial_iu |_{L^2} }^2 ight)^{1/2}.

    這是因為「Fourier變換的性質」——將微分運算化為乘法運算。

    顯然， left(sum_{i=0}^{s} {| partial_iu |_{L^2} }^2 ight)^{1/2} simeq sum_{i=0}^{s} {| partial_iu |_{L^2} }

    一般的Sobolev空間的定義是 W^{1,p}( Omega):={ f in L^p(Omega): exists g in L^p(Omega), ext{s.t.} int_{Omega}g cdot varphi dx=-int_{Omega}f cdot varphi^{prime} dx , forall varphi in C_c^{infty} (Omega) . }

    這裡的導數是分布意義下的導數。

    =====================================

    附錄：

    「多重指標」的定義以及性質

    多重指標-1
    多重指標-2

    參考文獻：

    1. Lieb E H, Loss M. Analysis: Second Edition[M]. 2001.
    2. 丁勇. 北京師範大學數學科學學院. 現代分析基礎[M]. 北京師範大學出版社, 2013.

    推薦閱讀：

相关文章