音頻知識（四）——加窗
在上文中，我們詳解了頻譜泄露，也正是因為信號在分幀時，幾乎不可能做到周期性截斷，所以才需要加窗——加窗函數在時域上調製信號，以盡量滿足周期性截斷，從而減少頻譜泄露。
在我們做stft時，需要分幀，並且還有一個操作是overlap。
分幀容易理解——分幀以保持信號的平穩性。而為什麼需要overlap呢？
本文將詳解overlap、分析窗，合成窗。
overlap
窗函數都有一個共同的特徵——呈鐘形（bell-shaped）：
上圖是由matlab中工具包wintool得出的。感興趣的可以去看看，有對窗的時頻域分析。
當拿這種窗函數去調製信號時，不可避免的會出現一個問題——抑制窗函數首尾兩端的信號。如下圖所示：
可以很直觀的看到：當對信號進行截斷時，因為採用的hamming窗，首尾兩端幅度為零，乘以原信號後，藍色信號就消失了。
其次，還會有一個問題， 即，對原信號這樣截斷後，會導致原信號的首尾兩端附近信號被衰減。
因此，為了解決上述兩個問題，一般在做stft時，都會採用overlap做法，即重疊。
如下所示：
分析上圖與未重疊的圖之間的差異。
以藍色信號為例，未重疊時，原始信號中的藍色信號乘以窗函數，會變成0。導致藍色信號人為的消失。
而對於上圖來說，藍色信號在第一幀時，乘以窗函數，變成0，消失。但在下一幀，它會保留。
總結一句：重疊是因為窗函數呈鐘形，當原始信號乘以窗函數後，不可避免的引入了幅度上的加權，導致靠近窗函數首尾的信號被衰減，從而導致分幀後的頻譜不再是原始信號的頻譜。因此，採用重疊的方法來解決這一問題。保證原始信號不會丟失某些成分。
分析窗（analysis window）與合成窗（synthesis window）
到目前為止，我們基本了解了從時域到頻域的做法。
那麼在頻域對信號進行處理後，如何從頻域回到時域呢？從頻域回到時域有沒有特殊的地方呢？
一般的，我們將時域到頻域的窗函數叫做analysis window， 。而把從頻域到時域的窗函數叫做synthesis window，
。
分析窗的作用我們已經了解了，那麼合成窗的作用在哪呢？
The STFT domain filtering used to estimate the target source STFT coefficients may introduce artifacts that affect all time samples in a given frame. These artifacts are typically most audible at the frame boundaries, and therefore the frames are again windowed by a synthesis window
as
. The synthesis windwo are also usually bell-shaped, attenuating the artifacts at the frame boundaries.
大意如下，在頻域對信號處理的時候，會在窗的邊界點產生畸變點。為此，從頻域到時域需要加一個合成窗，以消除窗邊界的畸變點。
那麼問題來了，對於合成窗的要求是什麼？
有一個完美重建準則——
是分析窗，
是合成窗。
上式的物理意義在於：
分幀的加權處理，要在合成時相應加權，以保證每個點的幅度不變。這樣才能儘可能的保護信號。
上式公式理論推導後續出文章（再挖一個坑），先出實驗結果定性了解。
hanning窗和矩形窗是一對完美分析合成窗對。基於此做如下實驗：
實驗一：分析窗是hanning窗，合成窗是矩形窗。
實驗二：分析窗是hamming窗，合成窗是矩形窗。
實驗三：分析窗是矩形窗，合成窗是矩形窗。
實驗四：分析窗是blackman窗，合成窗是矩形窗。
信號為1HZ，採樣率100HZ的正弦波，如下
實驗一
分析窗是hanning窗，合成窗是矩形窗：
實驗二
分析窗是hamming窗，合成窗是矩形窗：
可以發現當合成窗是hamming窗時，回到時域信號幅度會超過1，產生畸變。
實驗三
分析窗是矩形窗，合成窗是矩形窗：
可以看到，已經和原始時域信號有較大差距了。
實驗四
分析窗是blackman窗，合成窗是矩形窗：
可以看到，此時已經產生了不可接受的畸變了。
就此可以定性得出結論：當分析合成窗不滿足完美重建原則的話，時頻變換本身就會損傷語音。
在對語音處理中，我們經常對語音進行時頻搬移，在頻域處理完後必定要回到時域，而這時域轉頻域，頻域轉時域卻不是那麼簡單的。裡面的細節需要慢慢斟酌。
完美重建公式後續出文章細細論證。
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