上一節的Hodge分解是較弱的版本，本節介紹一個更強的版本，該定理是證明Riemann Roch定理的關鍵。由於證明較複雜，且涉及的技巧多來自泛函和pde，我將把一些定理的證明放在文末。緊黎曼面 M Hodge ast 運算元的定義見下文

series：黎曼面上的微分形式及Hodge分解?

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定義1內積空間 mathscr E 對於 f,gin C^infty(M) 定義 (f,g):=int_Mfastar g ;對於 omega_1,omega_2in Lambda^1(M) ,定義 (omega_1,omega_2)=int_Momega_1wedgeastaromega_2 ;對於 heta_1, heta_2in Lambda^2(M) ,定義 ( heta_1, heta_2):=int_M heta_1astar heta_2 那麼我們得到內積空間 mathscr E=C^inftyoplusLambda^1oplusLambda^2 ，對於 (f,omega_1, heta_1),(g,omega_2, heta_2)inmathscr E 定義 ((f,omega_1, heta_1),(g,omega_2, heta_2))=(f,g)+(omega_1,omega_2)+( heta_1, heta_2)

定義2 delta 運算元與Laplace-Beltrami運算元 delta=ast dast ， delta:Lambda^k ightarrowLambda^{k-1},(Lambda^{-1}=0) Delta=ddelta+delta d

性質1 delta 是運算元 d 的形式伴隨運算元，即對於任意 fin C^infty(M),omegain Lambda^1 , (omega,df)=(deltaomega,f) 對於任意 hetainLambda^2,omegainLambda^1 ,有 ( heta,domega)=(delta heta,omega) ；滿足 delta(f)=0 對任意 fin C^infty(M) .

證明： (omega,df)=(astomega,ast df)=-int_Mastomegawedge dar f=-int_M(d(astomegaar f)-d(astomega)ar f) =int_Md(astomega)ar f=int_M(ast dastomega)ast ar f=(deltaomega,f) (delta heta,omega)=(astdelta heta,astomega)=(-dast heta,astomega)=int_M(dast heta)wedgearomega =int_M(d(ast hetaaromega)+ast heta daromega)=int_Mast heta daromega=int_M hetaast daromega=( heta,domega)

第三條易見#

注:由此知 forall xin mathscr E,(Delta x,x)=(dx,dx)+(delta x,delta x)geq 0 從而 Delta 的特徵值非負

性質2 Delta:Lambda^k ightarrowLambda^k 且 (f,Delta g)=(Delta f,g) ; (Deltaomega_1,omega_2)=(omega_1,Deltaomega_2) ; (Delta heta_1, heta_2)=( heta_1,Delta heta_2) (符號意義見定義1,下同)

證明：由性質1可得#

設 h(z)=1/lambda(z) 其中 lambda(z)dxwedge dy 的意義見上一篇文章

性質3 Delta f=4f_{zar z}h(z) ; Delta(pdz)=4(p_{zar z}h+p_ar zh_z)dz ; Delta(qdar z)=4(q_{zar z}h+q_zh_ar z)dar z ; Delta(frac{i}{2}flambda dzwedge dar z)=2if_{zar z}dzwedge dar z

證明： Delta f=ast dast df=ast dast(f_zdz+f_ar zdar z)=ast d(-if_zdz+if_ar zdar z) =ast 2if_{zar z}dzwedge dar z=4f_{zar z}/lambda(z) ; Delta (p(z)dz)=(ddelta+delta d)(pdz)=dast dast(pdz)+ast dast d(pdz) =dast (ip_{ar z}dzwedge dar z)+ast d(2ip_{ar z}h(z)) =d(2p_ar zh(z))+2iast((p_{zar z}h+p_{ar z}h_z)dz)+2iast((p_{ar zar z}h+p_ar zh_ar z)dar z) =2(p_{zar z}h+p_ar zh_z)dz+2(p_{ar zar z}h+p_ar zh_ar z)dar z+2(p_{zar z}h+p_{ar z}h_z)dz-2(p_{ar zar z}h+p_ar zh_ar z)dar z =4(p_{zar z}h+p_ar zh_z)dz ;第三個與第二個類似； Delta(frac{i}{2}flambda dzwedge dar z)=dast df=d(-if_zdz+if_ar zdar z)=2if_{zar z}dzwedge dar z #

性質3表明， Delta 對於函數和2形式在局部類似於尋常的Laplace運算元，但是對於一形式呢？在如下坐標系下可以讓 Delta 對於1形式也類似於尋常的Laplace運算元.

引理1 存在局部坐標 z 使得 ilambda(z)dzwedge dar z 滿足 lambda(0)=1,lambda_z(0)=lambda_ar z(0)=0

證明：由 lambda 實值設 lambda(z)=1+bz+overline{bz}+O(left| z ight|^2) ，代換 z=w-frac{b}{2}w^2 ，則 dz=(1-bw)dw,dar z=(1-overline{bw})dar w , ilambda(z)dzwedge dar z=ilambda(z(w))(1-bw-overline{bw}+left| bw ight|^2)dwwedge dar w 簡單計算可知 lambda(w) 滿足條件#

結合下文的知識，我們得到了Laplace-Beltrami運算元的正則性，即對於任何 hinmathscr E , Delta u=h 若有一個弱解 u 則 uinmathscr E ，這是一個pde中的的結論

series：Weyl引理及一個推論?

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Hodge定理 mathscr E=Delta(mathscr E)oplusmathscr H 其中 mathscr H=KerDelta

要證明這個定理，不能局限於空間 mathscr E ,需要研究它的(按內積)完備化空間 L^2(M) ,再去證明1、 mathscr H 在 L^2(M) 中閉2、 mathscr H=Delta(mathscr E)^ot ；3、 mathscr H^otcap mathscr E=Delta(mathscr E)

1可由Laplace-Beltrami運算元的正則性得到

2的證明：設 xinmathscr H 則對於任意 yinmathscr E 有 (Delta x,y)=(x,Delta y)=0 ,從而 xin Delta(mathscr E)^ot ;設xinDelta(mathscr E)^ot，則對於任意 yinmathscr E有 (x,Delta y)=0 ,從而由Weyl引理知 xin mathscr H #

接下來我將介紹3的證明梗概，我們先把3轉化成一個pde的問題，即對於任何 hinmathscr H^otcap mathscr E , Delta u=h 總有一個弱解 u，斷言這個命題這可以推出3，證明：首先我們有 {Delta(mathscr E)}subsetmathscr H^otcap mathscr E ,設 xinmathscr H^otcap mathscr E ,則考慮方程Delta u=x ，那麼 uin mathscr E ,從而 xinDelta(mathscr E) #

如何構造方程Delta u=h 的一個弱解呢？我們需要用到幾個泛函分析的引理，介紹如下

定義3 空間 H 對於 xin mathscr E 設 left|| x| ight|_H^2=(x,x)+(dx,dx)+(delta x,delta x) ,定義 H為 mathscr E 依 left|| cdot| ight|_H 的完備化

注:1、對於 xinmathscr E , ((I+Delta)x,x)=left|| x| ight|_H^2 2、設 x,yin H , left{ x_n ight},left{ y_n ight}subsetmathscr E 分別以 x,y 為極限，定義 H 上的內積 Q(x,y) 為極限 lim_n((I+Delta)x_n,y_n) , H 就可以看成Hilbert空間3、H 可以看做 L^2(M) 的子空間

引理2 運算元 I+Delta能夠被延拓成 H 上的自伴隨運算元 F

證明:對於 yin H , xin L^2(M),有(x,y)^2leq (x,x)(y,y)leq left|| y| ight|_H^2(x,x) 從而對於取定的 xin L^2(M) , y ightarrow(x,y) 是 H 上的有界線性運算元，藉助Riesz表示定理，存在 x=Txin H 使得 Q(x,cdot)=(x,cdot) ,從而有運算元 T:L^2(M) ightarrow H ,有不等式 Q(Tx,Tx)=(x,Tx)leqsqrt{(x,x)(Tx,Tx)}leqsqrt{(x,x)}sqrt{Q(Tx,Tx)} ,即 Q(Tx,Tx)leq(x,x) ,從而 T 是有界線性運算元；假設 Tx=0 ,則 (x,cdot)equiv0 從而 x=0 ,從而 T 是單的.設 F=T^{-1} ,那麼 F|_{mathscr E}=I+Delta ，這是因為 (T^{-1}x,y)=Q(x,y)=((I+Delta)x,y) 對於一切 x,yinmathscr E .只用再證明 F 自伴隨，設 x,yin H ,則 (Fx,y)=Q(x,y)=overline{Q(y,x)}=overline{(Fy,x)}=(x,Fy) #

註：易知F 是正定的運算元，這是我們研究 I+Delta 的原因，但 Delta 只是半正定

結合下面的Rellich引理(證明見文末)，可以得到一個單的自伴隨的緊運算元 G:L^2(M) ightarrow L^2(M) 適用於譜定理，並藉助它構造一個弱解

Rellich引理 設 iota:H ightarrow L^2(M) 是嵌入運算元，則這是一個緊運算元，即對於 left{ xi_j ight}subset H 若 sup_jleft|| xi_j| ight|_H<infty ,則 left{ xi_j ight} 在 L^2(M) 中有收斂子列

引理3 G:=iota T:L^2(M) ightarrow L^2(M) 是一個單的緊運算元，其中 T 的意義見引理2

證明： T 是有界線性運算元， iota 是緊運算元，從而得證#

註：1、由不等式 Q(Tx,Tx)leq(x,x) 知道 G 的特徵值小於等於1

2、 G 可以認為是 I+Delta 的逆

介紹完下面的譜定理後，我將完成Hodge定理的證明

譜定理 設 mathcal H 是一個可分Hilbert空間，運算元 A:mathcal H ightarrowmathcal H 是一個單的自伴隨的緊運算元，那麼有一列離散的遞減趨於0的序列 left{ lambda_n ight} ,每個數都是 F 的特徵值，使得mathcal H_n:=left{ xin mathcal H:Ax=lambda_n x ight} 是有限的維的且mathcal H=oplus_nmathcal H_n

定理1 對於任何 hinmathscr H^otcap mathscr E , Delta u=h 總有一個弱解 u

證明: 由引理2得到 G 是自伴隨的，由譜定理設 1=lambda_1>lambda_2>...是 G 的特徵值(這裡 Gx=x 等價於 Fx=x 等價於 xin mathscr H) mathcal H_n:=left{ xin L^2(M):Gx=lambda_n x ight} ,從而 mathcal H_1=mathscr H ,對於 xinmathcal H_n(ngeq 2) , Gx=lambda_nx 推出 (1-lambda_n)x=lambda_nDelta x 在弱的意義下，即 Delta x=frac{1-lambda_n}{lambda_n}x,forall xinmathcal H_n ,設 hinmathscr E , h=sum_{n=2}^inftysum_{k=1}^{l_n}c_{nk}x_{nk} 是正交分解其中 x_{nk}inmathcal H_n,l_nleq dimmathcal H_n ,那麼設 u=sum_{n=2}^inftysum_{k=1}^{l_n}frac{lambda_n}{1-lambda_n}c_{nk}x_{nk} ,由 frac{lambda_n}{1-lambda_n}leqfrac{1}{1-lambda_2} 知道 (u,u)leqfrac{1}{(1-lambda_2)^2}(h,h) ,從而 uin L^2(M) 容易驗證 Delta u=h #

推論1 空間 mathscr H 是有限維的

最後祝大家除夕快樂，數學常伴(滑稽)

相關泛函分析的知識可參見[2].

Rellich引理的證明:[1]

參考文獻

[1]Riemann Surfaces By Way of Analytic Geometry.Dror Varolin.

[2]Functional Analysis,Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.Haim Brezis.


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