如何過任一固定點作一直線將任一三角形面積等分？注意固定點不在三角形邊或角點上。？
三角形的面積等分線
初步猜測題主想要的應該是這個東西：給定三角形 ，三角形外任取一點作直線
將
分為兩份，使這兩部分的面積相等，這條直線
應該就是題主所想要的。
其實也不算很困難的事，前提是你能夠畫出以三角形的兩條邊為漸進線的雙曲線，當然如果是尺規作圖，就另說了。
這個方法利用了一個關於雙曲線的有趣結論：
給定雙曲線
及其漸進線
，設
交點為
。過
上任一點
作
的切線分別交
於點
，則
為定值。
利用這個結論，（以視頻中給出的三角形為例）只要恰當地選取以 為漸近線的雙曲線，使得由其切線與
圍成的三角形面積恰為
，再過所給的固定點作這條雙曲線的切線，即滿足題主的要求。按照這個方法，不但可以作出等分三角形的線，還可以按任意比例分割三角形面積。
下面給出這個結論一個簡單的證明。
設雙曲線方程為 ，其漸近線為
。
現過雙曲線上一點 作雙曲線的切線
與兩條漸近線交點為
，兩漸近線交點（即原點）為
，
為切線與
軸交點。
則
因此 為定值。
找到三角形的重心，所謂重心就是三條中線的交點把A 然後固定點B和A一起連接這樣三角形的面積就等分了
如果題主問的是，做一直線，等分任意三角形面積，那麼從任一頂點和重心做直線，即滿足要求。
如果題主問的是，過任一給定點，做一直線等分任意形狀的三角形，那麼，此固定點和重心的連線不一定滿足要求。
先說結論，面積等分任意形狀三角形的直線可以有無數條，如果要求其過任一給定點的話，最少有一條滿足，最多有三條滿足。計算方法有回答提到了，基本上是計算過一點做雙曲線的問題，這裡給出一個圖像演示，比較直觀。
面積等分三角形的直線，包絡線形狀，一個凹的形狀。
綠色區域內的點（不含邊界）有三解，邊界上有兩解（尖角處兩解重合），綠色區域外僅有一解。
綠色區域在所有三角形中都存在，且和三角形的面積比是一個定值，
Series for envelope of triangle area bisectors?math.stackexchange.com
回答完一個月，偶然看到一個新的簡單方法，茅塞頓開啊哈哈！
若固定點在三角形內部，它的位置無非有兩種情況:
1.在三角形的中線上。
2.位於六個區域之一。
對於第一種情況，很明顯，連接頂點所在直線就可以平分三角形。
第二種情況就稍微複雜一點。如圖2??
對於固定點P來說，m，n，k均為固定值，所以解這個一元二次方程就可以求得BR值，從而得到BQ值。於是所要求的直線就得到了。
另外，從這裡也可以看到，直線l可能並不唯一。
過重心（形心）。
重心的物理學定義是各質點相對於重心(質心)的位置矢量乘上各質點的重力之和(合力矩)為零。
說人話，就是你拿一個支點，在重心處把該物品懸掛起來，兩側的重量都是相等的，可以靜止或做勻速直線運動。也就是說，重心兩側的質量是一致的。
所以說，過任意三角形是重心兩側面積也就是一致的。
奇了怪了。。。。
你們沒做過那個用物理方法求三角形重心的小實驗嗎。。。。
當三角形是均質的時候，任找一個固定點將三角形豎直吊起來，當三角形靜止時，畫一條垂直向下過固定點的線，然後更變一個固定點，再作一條垂直向下且過固定點的直線，這兩條線的交點就是三角形重心。
不止三角形，任意均質二維圖形找重心的樸素方法都是這個。
由於是均質，只有當直線兩側的面積（即質量）相等時三角形才可能保持靜止狀態，否則重心與固定點作用力不在同一直線上產生力矩依舊會旋轉到最後靜止的狀態啊。。。。
這才是所謂的「重心」。三角形特殊性質就是剛剛好三中線交於一點，而這個點又正好是它的重心了，所以才將三角形的三中線交點稱為「重心」。
怎麼就一群人懷疑這個「均質三角形過重心的任意直線將三角形面積分為相等兩部分」的性質呢。。。。
推薦閱讀：
