萬有引力簡易計算：在聽懂洛希極限和引力彈弓之前，你需要先了解
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原作：徐鵬暉
編排：葛明紅
引言：
之前曾經有一篇關於介紹山案座πc的推送裏（
上天不到半年就實現科學產出——TESS首次發現系外行星
）曾經有一回英文原文數據有誤，我們在翻譯的時候驗算髮現不對然後進行修改的事情，這篇推送下有高贊讀者留言說希望能瞭解一下天體計算的小知識。筆者當時也確實想着出這個系列，幫助大家瞭解萬有引力計算的一些小知識，但當時筆者正忙於自己手裏的幾個項目（其中包括一個天文科普電影計劃），沒有太多時間，本來就打算作罷了。
今年年初《流浪地球》的火熱上映讓“洛希極限”、“引力彈弓”等詞彙在觀衆間流行了起來，但是這些詞彙的具體含義卻鮮爲人知。筆者也曾不止一次地被看了《流浪地球》的同學和學弟學妹們詢問這些詞彙的含義。
本着讓大家多瞭解這方面知識的想法，筆者決定趁着趕畢業論文的檔兒完成這個系列的寫作。筆者能力有限，但會盡量保證文章的嚴謹程度，每期最後也會列出所用的參考文獻。
另外由於計算會不可避免地涉及到一些數學知識和具體運算過程，考慮到大家對於數學運算的接受程度，文章中會盡量避免繁雜的數學運算，並且在每段數學運算的最後都會單列一個“運算小結”版塊，不想細看計算過程的讀者可以直接跳過運算部分直接通過這個版塊瞭解上面這段運算的結論是什麼，運算部分可以作爲結論嚴謹性的一個參考。
本文作爲系列的第一篇想先看看讀者大大們對這個系列的反響再決定要不要繼續寫後面的篇章，如果您覺得這篇還不錯的話請轉發點贊留言，您的支持是筆者創作的最大動力，在此表示感謝。
最早以數學關係定量描述天體運動規律的人可能就是約翰尼斯·開普勒(Johannes Kepler)了，他提出了著名的開普勒三定律。開普勒的老師是著名的天文學家第谷(Tycho Brache)。第谷非常善於觀測，手裏積攢了大量的天象觀測數據，但奈何自己的數學水平不夠，一直沒能從自己的數據裏找出其中包含的數學規律。臨終前他將自己的觀測數據都傳給了自己的學生開普勒，希望他能接手自己的工作。開普勒也是沒有辜負老師的期望，在老師去世八年後從數據中總結出了開普勒第一和第二定律，在此之後十年又總結出了開普勒第三定律。（第谷：吃了數學不好的虧……）
開普勒第一定律：行星運動的軌跡不是圓形而是一個橢圓，太陽處在其中的一個焦點上。【1】
這裏需要補充說明一下橢圓的幾個基本性質和參數，在之後的文章中這些參數還會經常出現。
（筆者自己的渣手繪）
橢圓是到兩點(F1、F2)距離之和爲常數的所有點的集合【2】。F1、F2被稱爲橢圓的兩個焦點。橢圓在平面直角座標系裏可以用如下方程描述：
其中：
AB（長軸）=2a，（a=OA爲長半軸）
CD（短軸）=2b，（b=OB爲短半軸）
F1F2（焦距）=2c，（c=OF1爲半焦距）
a?=b?+c?
EF?+EF?=2a，
e（離心率）=c/a（一個可以用來形容橢圓“扁”的程度的量，0
（以後想說自己女朋友胖就可以說TA的e很小，胖成個球=e等於零，嗯沒毛病）
開普勒第二定律：行星（開普勒原文是行星，但後來證明受太陽引力主導運動的其他天體也是一樣的）與太陽的連線在相同的時間內掃過的面積是相同的。【1】
這個定律可以通過角動量守恆定律得到證明，感興趣的讀者可以直接拉到文章最後查看證明過程。這個定律可以告訴我們行星在離太陽近的時候運動速度會加快，遠的時候會減慢。
（爲了使這種差異更明顯圖中取了一個e較大的軌道）
開普勒第三定律：i圍繞太陽運行的行星，其軌道的週期的二次方和長半軸的三次方之比爲定值。【1】數學表述形式如下：
其中k是一個常數。
在此之後幾十年，牛頓(Issac Newton)在開普勒三定律的基礎上提出了萬有引力定律：物體受到的引力大小和兩物體的質量成正比，和兩物體距離的平方成反比。【3】用公式表述就是：
其中G爲常數，在後世由英國物理學家卡文迪許(Henry Cavendish)首次測得準確數值。
將萬有引力公式和描述圓周運動的相關公式結合起來我們可以得到很多關於近圓軌道的結論，比如在近圓軌道情況下開普勒第三定律裏的常數k到底是多少。推導過程如下（想跳過數學運算的讀者可直接翻到這段運算後的運算小結版塊）：
（需要額外說明一點的是，式中默認m1>>m2，這樣纔可以將行星或天體的運動近似爲以太陽爲中心的圓周運動，太陽處於圓心不動；m1和m2數量級上相近的時候則需要另外計算圓周運動的半徑）
消元m2，同時移項，
繼續移項整理成開普勒第三定律的形式，
運算小結：
到這裏我們可以得出這麼一個結論：如果行星的質量相比恆星來說可以忽略不計（m1>>m2），那麼開普勒第三定律裏的常數k的值只和中心恆星/天體的質量（m1）有關係（因爲別的都是常數）。
這裏我們爲了方便大家理解使用了圓周運動前提下的推導，但同樣的結論也可以在沒有這個假設下使用微積分推導而出。
至此，我們已經有了一些基本的鋪墊，下期筆者將會告訴大家我們發現並糾正space.com關於山案座πc的文章中的數據錯誤的全過程
參考文獻：
【1】：Wikipedia: Kepler's laws of planetary motion, url: https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s_laws_of_planetary_motion
【2】：普通高中課程標準實驗教科書-數學選修2-1.北京:人民教育出版社,2007,38
【3】：I. Newton.趙振江 譯.自然哲學的數學原理.北京:商務印書館,2006,495~498
附：
開普勒第二定律證明過程：
行星的角動量是守恆的，因此有
其中θ是矢徑和瞬時速度矢量的夾角
在極短的時間dt內，可近似認爲行星走過的距離爲vdt，即速度不變（參考微積分的近似思維）
根據三角形面積公式，dt內矢徑掃過的面積dS爲
將L帶入，得
所以單位時間dt內矢徑掃過面積dS的速度u爲
這是一個常數，說明矢徑掃過面積的速度在各處都是一樣的，也即在相同時間內掃過的面積是相同的，開普勒第二定律得證
——END——
責任編輯：艾宇熙
牧夫新媒體編輯部
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A Symphony in Northern Winter Skies
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