众所周知, 数学里的反直觉有两个意思

  1. 这tm也要证?
  2. 这tm也能证?

选择公理在这两个意义上的反直觉应用都不少. 我个人认为哲学(可能世界语义学和voting theory)上的应用比较有趣

1. 这tm也要(用到选择公理来)证? (意思是说，如果我们不接受选择公理，以下每一条我们都能找到一个模型使得它为假)

-如果存在一个X到Y的满射，那么存在一个Y到X的单射 (这个叫做the partition principle, 目前已知的所有证明都要用到选择公理)

-给定一系列的非空集合，这些集合的笛卡尔积非空

-任意两个集合都能比较大小(意思是要么存在X到Y的单射，要么存在Y到X的单射，要么两者都成立)

-可数个可数集的并是可数的(弱化一点地说, 实数集无法拆分为可数个可数集合)

-如果我们把一个集合划分成一堆两两不相交的集合，那么这些划分的数量不大于原集合内元素的数量

你所在数学领域的 big picture 是什么？?

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-任何一个无限的集合都存在一个可以和自然数一一对应的子集

如何证明 X 是无限集时存在 X 到 X 的一个非满射但是单射的映射？?

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-一阶逻辑的完备性和紧致性(completeness compactness)

-符合我们直觉的对于「有限」的几个定义等价

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm46/fm4611.pdf?

matwbn.icm.edu.pl

-每一个nontrivial ring都存在maximal ideal

-每一个connected graph都存在一个spanning tree

2. (用了选择公理)这tm也能证?

-实数上存在一个良序

-存在一个不可测集

-Banach-Tarski分球悖论

-另一个回答里提到的必胜策略类型的结果

-任意一阶公理集如果存在无限大的模型，那么这个公理集存在可数无限大的模型 (downward L?wenheim-Skolem)

-complex p-adic numbers和complex numbers作为fields是同构的

-(在普遍接受的可能世界语义学下)存在一个一致的语句集，但这个语句集不在任何一个可能世界为真

-存在(阿罗不可能定理意义上的)完美的投票系统

http://www.math.harvard.edu/~sebv/141a-fall-2018/arrow.pdf?

www.math.harvard.edu

-在直觉主义数学中证明排中律

「一个命题非真即伪」是由ZF、ZFC或【ZFC+（V=L）】推导而来的吗？?

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讲一个选择公理的有趣应用。

假设有100个绝顶聪明的人要参加一个游戏，这个游戏参与过程中所有人不能以任何形式交流。

道具：假设有100个完全一样的房间，房间中有可列无穷张正面朝下的纸条，纸条下写了一个实数。

规则：100个人同时进入这些房间（一人一个房间），进入房间后，可以查看除了一张以外的所有纸条（不要求在一开始就决定不看哪张，可以先看一部分之后再做决定，每个人选择的纸条可能不同)。这时候，神奇的地方来了，他需要猜测这张未翻开纸条上的数，如果猜错了，死亡。

问题：这100个人是否可以提前商量一个策略，使得至少有99个人可以存活？

第一反应肯定觉得不可能，因为剩下所有纸条上的数和要猜的那张上的数没有任何关联....

答案：存在这样的策略，下面开始构造这个策略，为此我们需要使用一些记号。

我们把所有纸条编号，因此纸条上的数构成一个无穷长的向量 [公式]。

在集合[公式] 上构造等价关系 [公式] 当且仅当 [公式] 使得对任意 [公式] （也就是说 [公式] 当且仅当他们只有有限位不同，那么容易验证 [公式] 是一个等价关系）

根据选择公理，我们可以从每个等价类中选取一个代表元 [公式] ，把此代表元对应的等价类记为 [公式]

下面构造策略如下，首先这100个人先把所有代表元构成的表格背下来。假设房间中的向量为 [公式] ,考虑 [公式] 为所有下标模100余 [公式] 的元素构成的子列。那么第k个人保留 [公式] ,直接查看所有 [公式]

考虑 [公式] 所对应的等价类中的代表元为 [公式] ,即 [公式] 。于是由等价关系的定义我们有 [公式] 除了有限项以外均相同，设 [公式] 。于是第k人可以观测到[公式] 以外的所有 [公式] .

那么设 [公式] ,此人现在保留 [公式] 的第 [公式] 位，查看其余所有的数，由于他只有第 [公式] 位不知道，因此他可以确定 [公式] 所在的等价类为 [公式] ,那么现在他猜测 [公式]

我们断言这个策略可以保证至少99个人存活（猜中数字）

为什么？因为只有当 [公式] 时，第 [公式] 个人才有可能猜错，（想想为什么？），而这样的i显然最多有一个，证毕！

大概是这样的，记得在公元附近有人通过Banach-Tarski Paradox用两条鱼和五张饼喂饱了五千人。

这么一想我觉得实数集是良序集也挺反直觉的

这么一想我觉得良序定理和选择公理等价也挺反直觉的

这么一想我觉得选择公理也挺反直觉的

这么一想我觉得Choice和Axiom的存在也挺反直觉的

这么一想我觉得直觉也挺反直觉的

这么一想我觉得这么一想也挺反直觉的

这么一想我觉得觉得也挺反直觉的

这么一想我觉得我也挺反直觉的

这么一想我觉得存在也挺反直觉的

这么一想我觉得这么一想我觉得反直觉也挺反直觉的

这么一想我觉得这么一想我觉得这么一想我觉得反直觉也挺反直觉的也挺反直觉的

（

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Banach Tarski？当然我觉得马上就会有人出来指出我觉得反直觉是因为我智力有问题（

存在无穷多个与阿列夫零cardinality相同的集合

Cardinality: Why is there no "??"??

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The point is that without the Axiom of Choice, cardinalities are not linearly ordered, and it is possible under ? ?AC that there are additional cardinalities to the side of the ??s. Thus, the issues is not additional cardinalities between ?0?0and ?1?1, but rather additional cardinalities to the side, incomparable with these cardinalities.

Let me explain. We say that two sets A and Bare equinumerous or have the same cardinality if there is a bijection : → f:A→B. We say that Ahas smaller-or-equal cardinality than B if there is an injection : → f:A→B. It is provable (without AC) that A and B have the same cardinality if and only if each is smaller-or-equal to the other (this is the Cantor-Shroeder-Bernstein theorem). Under AC, every set is bijective with an ordinal, and so we may use these ordinals to select canonical representatives from the equinumerosity classes. Thus, under AC, the ? ?αs form all of the possible infinite cardinalities. But when AC fails, the cardinalities are not linearly ordered (the linearity of cardinalities is equivalent to AC). Let me mention a few examples:It is a consequence of the Axiom of Determinacy that there is no 1ω1 sequence of distinct reals. Thus, in any model of AD, the cardinality of the reals is uncountable, but incomparable to ?1?1. Thus, in such a model, it is no longer correct to say that ?1?1 is the smallest uncountable cardinal. One should say instead that ?1?1 is the smallest uncountable well-orderable cardinal.A more extreme example is provided by the Dedekind finite infinite sets. These sets are not finite, but also not bijective with any proper subset. It follows that they can have no countably infinite subsets. In particular, they are uncountable sets, but their cardinality is incomparable with ω. Thus, in a model of ? ?AC having a Dedekind finite infinite set, it is no longer correct to say that ?0?0 is the smallest infinite cardinal. Thus, the issue isnt whether there is something between ?0?0 and ?1?1, but rather, whether there are additional cardinalities to the side of these cardinalities.

Banach-Tarski Theorem

那怕不是要举

Banach-Tarski定理了：一个单位球可以分解成5个部分，这5个部分仅仅进行简单的平移和旋转就能拼成两个相同的单位球.

也就是在数学上分身术的确成立著.

具体见https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

选择公理本身就挺反直觉吧，本来从有限个集合中各选择一个元素组成一个集合不需要这条公理，这条公理断言数学家可以进行无限步的选择操作。

虽然分球悖论反直觉，但我一想到否则线性空间不一定有代数意义的基就很难过。

可以用来证明排中律。虽然我没看懂

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