眾所周知, 數學裡的反直覺有兩個意思

  1. 這tm也要證?
  2. 這tm也能證?

選擇公理在這兩個意義上的反直覺應用都不少. 我個人認為哲學(可能世界語義學和voting theory)上的應用比較有趣

1. 這tm也要(用到選擇公理來)證? (意思是說，如果我們不接受選擇公理，以下每一條我們都能找到一個模型使得它為假)

-如果存在一個X到Y的滿射，那麼存在一個Y到X的單射 (這個叫做the partition principle, 目前已知的所有證明都要用到選擇公理)

-給定一系列的非空集合，這些集合的笛卡爾積非空

-任意兩個集合都能比較大小(意思是要麼存在X到Y的單射，要麼存在Y到X的單射，要麼兩者都成立)

-可數個可數集的並是可數的(弱化一點地說, 實數集無法拆分為可數個可數集合)

-如果我們把一個集合劃分成一堆兩兩不相交的集合，那麼這些劃分的數量不大於原集合內元素的數量

你所在數學領域的 big picture 是什麼？?

www.zhihu.com圖標

-任何一個無限的集合都存在一個可以和自然數一一對應的子集

如何證明 X 是無限集時存在 X 到 X 的一個非滿射但是單射的映射？?

www.zhihu.com圖標

-一階邏輯的完備性和緊緻性(completeness compactness)

-符合我們直覺的對於「有限」的幾個定義等價

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm46/fm4611.pdf?

matwbn.icm.edu.pl

-每一個nontrivial ring都存在maximal ideal

-每一個connected graph都存在一個spanning tree

2. (用了選擇公理)這tm也能證?

-實數上存在一個良序

-存在一個不可測集

-Banach-Tarski分球悖論

-另一個回答裏提到的必勝策略類型的結果

-任意一階公理集如果存在無限大的模型，那麼這個公理集存在可數無限大的模型 (downward L?wenheim-Skolem)

-complex p-adic numbers和complex numbers作為fields是同構的

-(在普遍接受的可能世界語義學下)存在一個一致的語句集，但這個語句集不在任何一個可能世界為真

-存在(阿羅不可能定理意義上的)完美的投票系統

http://www.math.harvard.edu/~sebv/141a-fall-2018/arrow.pdf?

www.math.harvard.edu

-在直覺主義數學中證明排中律

「一個命題非真即偽」是由ZF、ZFC或【ZFC+（V=L）】推導而來的嗎？?

www.zhihu.com圖標

講一個選擇公理的有趣應用。

假設有100個絕頂聰明的人要參加一個遊戲，這個遊戲參與過程中所有人不能以任何形式交流。

道具：假設有100個完全一樣的房間，房間中有可列無窮張正面朝下的紙條，紙條下寫了一個實數。

規則：100個人同時進入這些房間（一人一個房間），進入房間後，可以查看除了一張以外的所有紙條（不要求在一開始就決定不看哪張，可以先看一部分之後再做決定，每個人選擇的紙條可能不同)。這時候，神奇的地方來了，他需要猜測這張未翻開紙條上的數，如果猜錯了，死亡。

問題：這100個人是否可以提前商量一個策略，使得至少有99個人可以存活？

第一反應肯定覺得不可能，因為剩下所有紙條上的數和要猜的那張上的數沒有任何關聯....

答案：存在這樣的策略，下面開始構造這個策略，為此我們需要使用一些記號。

我們把所有紙條編號，因此紙條上的數構成一個無窮長的向量 [公式]。

在集合[公式] 上構造等價關係 [公式] 當且僅當 [公式] 使得對任意 [公式] （也就是說 [公式] 當且僅當他們只有有限位不同，那麼容易驗證 [公式] 是一個等價關係）

根據選擇公理，我們可以從每個等價類中選取一個代表元 [公式] ，把此代表元對應的等價類記為 [公式]

下面構造策略如下，首先這100個人先把所有代表元構成的表格背下來。假設房間中的向量為 [公式] ,考慮 [公式] 為所有下標模100餘 [公式] 的元素構成的子列。那麼第k個人保留 [公式] ,直接查看所有 [公式]

考慮 [公式] 所對應的等價類中的代表元為 [公式] ,即 [公式] 。於是由等價關係的定義我們有 [公式] 除了有限項以外均相同，設 [公式] 。於是第k人可以觀測到[公式] 以外的所有 [公式] .

那麼設 [公式] ,此人現在保留 [公式] 的第 [公式] 位，查看其餘所有的數，由於他只有第 [公式] 位不知道，因此他可以確定 [公式] 所在的等價類為 [公式] ,那麼現在他猜測 [公式]

我們斷言這個策略可以保證至少99個人存活（猜中數字）

為什麼？因為只有當 [公式] 時，第 [公式] 個人才有可能猜錯，（想想為什麼？），而這樣的i顯然最多有一個，證畢！

大概是這樣的，記得在公元附近有人通過Banach-Tarski Paradox用兩條魚和五張餅餵飽了五千人。

這麼一想我覺得實數集是良序集也挺反直覺的

這麼一想我覺得良序定理和選擇公理等價也挺反直覺的

這麼一想我覺得選擇公理也挺反直覺的

這麼一想我覺得Choice和Axiom的存在也挺反直覺的

這麼一想我覺得直覺也挺反直覺的

這麼一想我覺得這麼一想也挺反直覺的

這麼一想我覺得覺得也挺反直覺的

這麼一想我覺得我也挺反直覺的

這麼一想我覺得存在也挺反直覺的

這麼一想我覺得這麼一想我覺得反直覺也挺反直覺的

這麼一想我覺得這麼一想我覺得這麼一想我覺得反直覺也挺反直覺的也挺反直覺的

（

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Banach Tarski？當然我覺得馬上就會有人出來指出我覺得反直覺是因為我智力有問題（

存在無窮多個與阿列夫零cardinality相同的集合

Cardinality: Why is there no "??"??

mathoverflow.net圖標

The point is that without the Axiom of Choice, cardinalities are not linearly ordered, and it is possible under ? ?AC that there are additional cardinalities to the side of the ??s. Thus, the issues is not additional cardinalities between ?0?0and ?1?1, but rather additional cardinalities to the side, incomparable with these cardinalities.

Let me explain. We say that two sets A and Bare equinumerous or have the same cardinality if there is a bijection : → f:A→B. We say that Ahas smaller-or-equal cardinality than B if there is an injection : → f:A→B. It is provable (without AC) that A and B have the same cardinality if and only if each is smaller-or-equal to the other (this is the Cantor-Shroeder-Bernstein theorem). Under AC, every set is bijective with an ordinal, and so we may use these ordinals to select canonical representatives from the equinumerosity classes. Thus, under AC, the ? ?αs form all of the possible infinite cardinalities. But when AC fails, the cardinalities are not linearly ordered (the linearity of cardinalities is equivalent to AC). Let me mention a few examples:It is a consequence of the Axiom of Determinacy that there is no 1ω1 sequence of distinct reals. Thus, in any model of AD, the cardinality of the reals is uncountable, but incomparable to ?1?1. Thus, in such a model, it is no longer correct to say that ?1?1 is the smallest uncountable cardinal. One should say instead that ?1?1 is the smallest uncountable well-orderable cardinal.A more extreme example is provided by the Dedekind finite infinite sets. These sets are not finite, but also not bijective with any proper subset. It follows that they can have no countably infinite subsets. In particular, they are uncountable sets, but their cardinality is incomparable with ω. Thus, in a model of ? ?AC having a Dedekind finite infinite set, it is no longer correct to say that ?0?0 is the smallest infinite cardinal. Thus, the issue isnt whether there is something between ?0?0 and ?1?1, but rather, whether there are additional cardinalities to the side of these cardinalities.

Banach-Tarski Theorem

那怕不是要舉

Banach-Tarski定理了：一個單位球可以分解成5個部分，這5個部分僅僅進行簡單的平移和旋轉就能拼成兩個相同的單位球.

也就是在數學上分身術的確成立著.

具體見https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

選擇公理本身就挺反直覺吧，本來從有限個集合中各選擇一個元素組成一個集合不需要這條公理，這條公理斷言數學家可以進行無限步的選擇操作。

雖然分球悖論反直覺，但我一想到否則線性空間不一定有代數意義的基就很難過。

可以用來證明排中律。雖然我沒看懂

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