對於全體有理數成立的結論能推廣到實數域嗎？
比如，對於算數平均數的琴生不等式，對於n個元素，令其中的i個元素相等，則可以得到權為i/n的一項。即可證明琴生不等式的有理數加權形式。那能否由此推出權是實數時不等式也成立？如果可以，那麼這一拓展要滿足什麼條件？
一個比較簡單的標準是：如果你的結論與極限運算「相容」那通常是可以推廣的。比如你說的這個結論，如果 且
都是有理數的話，那麼
。
這個結論在如下的意義下與極限運算「可交換」：
考慮一族有理數序列： ,也就是說對於每一個
都有一個有理數係數序列也滿足前面說的那些要求，而且對於每一個固定的
,極限
都存在，
那麼就可以得到（利用大於等於號與極限運算"相容"）：
也就是說（利用線性函數與指數函數的連續性）：
此時的這個極限序列 就不見得是有理數序列了，實際上任何一個實數序列都可以使用一族有理數序列來進行逼近，於是這就證明瞭你所要的關於實係數的算數幾何平均值不等式。當然完全相同的方法就可以推廣到一般的實係數琴生不等式。這裡面的關鍵在於
第一：大於等於( ) 在極限運算下是得到保持的
第二：線性函數，指數函數都是連續函數，也就是說他們與極限運算可交換
而對於有理數成立但是對無理數不見得成立的結論就很多了，比如 對於所有的有理數
都不等於零，但是
. 為什麼會這樣？因為「不等於零」這件事與極限運算不"相容"
權是成立的。
加乘法交換分配律也成立。
但是有理數的結論不一定可以推到實數域。
比如有理數是可數的，但是實數是不可數的。
有理數對極限運算封閉，而實數對極限運算封閉。有理數能寫成兩數之比，而實數不一定。
在域論語言 甚至更多地符號比如有序域
或者加上所有有理數作為常數下，任何
的公式在
中成立則也在
。例如任何有理係數的多項式方程在有理數中有解蘊含在實數中也有界。但是對於
的公式就不成立，比如
在有理數中成立，但是在
中就不成立。
你說的「比如」裡面的東西，肯定是可以推廣的。
但是全體有理數的結論，肯定不能推廣到實數。因為有理數的定義是可以表示為兩個整數的比值；而實數沒有這個要求。
從定義出發，你不能要求所有的實數都可以表示為兩個整數的比值，因此至少有一個結論不能推廣都實數。
這是第一次數學危機的焦點問題，古希臘的一個學派認為所有實數都可以表示為兩個整數比值，後來有人發現 就不是可以表示為兩個整數的比，這個數就是一個不講道理的數（無理數）。
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