可以是已解決問題，也可以是未解決問題，當然更可以是自己提出的問題。

問題構思一定要精巧，不求解答。

比如阿里巴巴數學競賽的那個拉麵拓撲問題。

舉個比較簡單的熟知的例子吧。

[公式] . 學過數分的都知道，標準做法是，平方一下，再用極坐標代換：[公式] 。

我覺得第一次接觸這個積分就能獨立想到這個方法的人，確實可以說是天才了。正常人的思維是，一元微積分簡單，多元微積分難。難的東西應該往簡單的方向化。但是有時候反其道而行之，你給他升一下維，問題反而迎刃而解了。所以究竟什麼是難的數學，什麼是簡單的數學呢？是不是應該反思一下自己對數學的刻板印象？

說句題外話，國際象棋裡面，馬象殺王一直是個大難題，理論上是必勝的，但是實際操作過程中，即使是大師也可能失誤而成和。我記得有些局面下，你明明把王逼到一路了，但你就是要故意把王放到二路三路，才能完成殺棋。這也算是有異曲同工之妙吧。

這一類積分叫做高斯積分，我不知道是不是高斯首先想到這個方法的。

另外，在概率裡面，其實這也是個常用的技巧。比如要算E[X]，我可以取兩個獨立同分布的隨機變數，X,Y，然後 [公式] ，對有些分布，這麼算真的就更簡單。

題主要求題目構思巧妙，非答案巧妙。我想到這個問題：

希爾維斯特鑄幣問題 / 『Sylver』 coinage game

這是一個博弈遊戲，兩個玩家輪流「發行」一種整數面額貨幣，要求後發行的貨幣金額不能用已發行貨幣的金額表示（即可以拿出這個金額的錢，而不需找零）出來，誰最終不得不發行面額為「1」的貨幣，則輸掉遊戲。比如如下過程：

  1. 第一個玩家發行面額為5的貨幣，則5, 10, 15, 20...等面額不能再發行。
  2. 第二個玩家發行面額4的貨幣，則 4, 5, 8, 9, 10和11以上的面額不能再發行。
  3. 第一個玩家發行11，則只有2，3，6，7面額可以發行。
  4. 第二個玩家發行6，則只有2，3，7可以發行。
  5. 第一個玩家發行7，則只有2，3，可以發行。
  6. 第二個玩家發行2，則只有3可以發行。
  7. 第一個玩家發行3。

此時第二個玩家只能發行面額為1的貨幣，所以輸掉了遊戲。

現在的問題是，這個遊戲的雙方最佳策略是啥？

這個遊戲以19世紀英國數學家希爾維斯特（James Joseph Sylvester, 1814年9月3日－1897年3月15日）命名，因其第一個證明這個遊戲可以在有限步驟內結束。

已知的一些結論：

第一個玩家發行質數面額的貨幣時，有必勝策略，但具體必勝策略未知。

如果第一個玩家還有其他必勝策略，則第一個發行的面額必須是 [公式] 類型的數。

John Conway （2020年4月去世）曾懸賞1000美元，問：

若第一個玩家出16，此後雙方的最佳策略是啥？

此題我覺得構思巧妙在於，它成功的把一個數論中的表示理論問題包裝為一個大家喜聞樂見的博弈論問題。十分容易理解，但內涵很深，實乃居家旅行消遣之佳品。值得推薦。

參見：

https://en.wikipedia.org/wiki/Sylver_coinage?

en.wikipedia.org

這個挺好玩的，我來分享幾個有趣的數論概念或問題

問題1：有理數的加法群沒有極大子群

怎麼證明有理數加法群沒有極大正規子群??

www.zhihu.com圖標

群的極大子群對應環的極大理想，我們繼續就有理域的性質來看極大理想的概念

定義：稱環 [公式] 是離散賦值環，如果環 [公式] 是主理想整環，且只有唯一的非零素理想

有理數域有一個代數整數環，就是整數環 [公式] ，那麼我們可以去構造一個有關整數環的離散賦值環

問題2：取集合 [公式] ，那麼[公式] 是一個離散賦值環，並且那個唯一的非零素理想就是 [公式] ，且任何理想具有形式 [公式] .

這樣就得到了一般的 [公式] ，然後得到 [公式] ，這樣去思考我覺得比用逆極限得到p-adic數域要直觀巧妙很多，推而廣之就是有理域的有限擴張，利用其代數整數環的素理想，同樣可以定義類似的離散賦值環和 [公式] 的有限擴張，就是後話了，偷懶一下，直接上我筆記的圖片

現在到代數數論了，那麼繼續來在這裡來看一個本來就巧妙還可以在更加巧妙的二次互反率的證明

二次互反率：設 [公式] 兩個大於2的不同素數， [公式] 是勒讓德符號，則有 [公式]

再次偷懶，圖片來自田以超老師的講義，有一處筆誤，符號可翻看任意一本代數數論書籍都可以得到其定義。

要說真正的構思巧妙，我還是得提一下Galois的單群的證明

定理：交錯群 [公式] ， [公式] ，是單群

參考代數學引論（聶靈沼，丁石孫，第二版）

代數學或數論的發展就是在巧妙構思中慢慢推進的。

費馬小定理和費馬大定理在n=4的情況，都是初等數論中的經典問題，兩個證明都相當的精彩。

費馬小定理： [公式] 是一個素數，整數 [公式] 不是 [公式] 的倍數，那麼

[公式]

證明：注意到 [公式] 這 [公式] 個數對 [公式] 的餘數各不相同，而每個餘數肯定是 [公式] 之一，因此

[公式] , 即

[公式]

又 [公式] 和 [公式] 互素，所以[公式]

費馬大定理在n=4的證明：證明更一般情況，不存在正整數組 [公式] 使得 [公式]

證明：使用反證法，假設存在這樣的正整數組，找到其中第三個數最小的一組 [公式] ，下面證明一定能找到另外一組 [公式] 滿足 [公式]

首先 [公式] 是互素的，否則若有共同的素因子 [公式] ，則 [公式] 於是[公式] 滿足條件且 [公式] 根據對稱性，設 [公式] 是偶數， [公式] 是奇數。根據勾股數組的性質可知，存在互素的整數 [公式] 使得

[公式]

又注意到 [公式] 是一組互素的勾股數組，且 [公式] 是奇數，所以 [公式] 是偶數， [公式] 是奇數。根據勾股數組的性質可知，存在互素的 [公式] 使得

[公式]

注意到 [公式] ，且[公式] 和 [公式] 互素，因此 [公式] 和 [公式] 都是平方數；

[公式] 且 [公式] 和 [公式] 互素，因此 [公式] 和 [公式] 都是平方數；

設 [公式] 於是 [公式] 。而 [公式] 所以正整數組 [公式] 滿足條件且有更小的第三個數，矛盾。

每條地鐵線通常在地圖上都有其自己的顏色，為了避免在換乘站及線路圖中產生混淆，新增一條地鐵線，用什麼顏色標識它比較好呢？

設計師會參考或應用色差公式規劃地鐵線路圖[1]，使得相切的線路顏色對比盡量大一些。

數學原理是建立一個顏色空間，用歐幾里得距離來定義它，兩個顏色（用RGB舉個例子來說明）的差異（或者距離）可以用下面這個公式來定義：

[公式]

國際照明委員會（CIE）據此構想制定和完善了一些工業標準，更多詳盡的內容你可以參考提到的文獻，或者搜索色差與地鐵線路圖了解更多。

參考

  1. ^https://arxiv.org/abs/1504.00140

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