需要注意的一点，本征态和叠加态是一个相对而言的概念，你不能指著一个态说它就是叠加态，它就是本征态，一定得说它是相对于那个物理量而言的。

完全可能一个态对于物理量A来说是本征态，对物理量B就是叠加态。

从数学上的定义而言，态是共线的非零态向量的等价类，而一个而本征态，就是一些共线特征向量的等价类，对于物理量A，它对应著希尔伯特空间的一个自伴运算元A，对于复数a，如果 [公式] ，a称为A的点谱（或特征值）， [公式] 称之为 a对应的特征子空间，特征子空间中的非零向量的共线等价类就叫本征态，特征子空间的维数称为a的简并度。

对于点谱而言，投影 [公式] 非0，它就是 [公式] 对应的正交投影运算元，所以 [公式] ，测量A的概率 [公式] 就变成了单点测度，也就是只有测出a这一种可能。

相反，对于不属于某个特征子空间的态，就叫叠加态，所以叠加态才是普遍，本征态才是罕见的，只是有所谓退相干机制让你使用某种仪器去观测粒子，由于仪器和粒子的相互作用，会使得叠加态变成本征态，这其中仍然是物理量依赖的，因为测量某个物理量必须使用相关的仪器，或者调整仪器的状态。

所以不用那么多数学概念本征态就是测量某个物理量，一定只能得出单独结果的态。这东西显然是物理量依赖的，所以不能直接说某个态就是叠加态。

1，几个态的叠加态是不同于这几个态的一个新的态。

很多叙述过分强调了叠加态和原态的联系，而忽略了叠加态和原有态的区别。

例如说，按一些说法|1&>和|2&>的叠加态a|1&>+b|2&>，「部分处于|1&>态，部分处于|2&>态」或者「以概率|a|^2处于|1&>态，以概率|b|^2处于|2&>态」，以及流传最广的「猫部分地处于死态，部分地处于活态」。

这些说法都只强调了叠加态和原有态相同的部分，但没有提到新态和原态的不同。

例如，根据傅里叶变换，很多波函数都可以用平面波函数叠加而成:

[公式]

其中ψ（x）可以是高斯函数，即一维谐振子的基态，这是一个束缚态，但叠加为这个束缚态的所有态都是平面波，即非束缚态。一堆非束缚态叠加成了一个束缚态，可见叠加态不仅有和原态类似的性质，更有不同于原有的态的性质。叠加态是不同于原有态的一个新的态。

（这段具体可以见喀兴林老师书中对态叠加原理的说明）

2，叠加态是相对的。

由于「薛定谔的猫」的例子影响广泛，听多了「猫处在又死又活的叠加态」，大家会产生「又死又活」是叠加态，由「死」和「活」两态叠加而成。

但其实也可以反过来说「死」或者「活」是由「又死又活」叠加而成的叠加态。

例如|1&>=(|死&>+|活&>)/ [公式], |2&>=(|死&>-|活&>)/ [公式]，那么有|死&>=(|1&>+|2&>)/ [公式]，|活&>=(|1&>-|2&>)/ [公式]

可以看到这时候「死」和「活」就是叠加态了。可见叠加态不是绝对的而是相对的。这点 @YorkYoung 回答里有更进一步的说明。

所以问题关键不是「什么态是叠加态，什么态不是叠加态」而是「为什么我们只能测到|死&>和|活&>态，测不到|1&>和|2&>态」，这是偏好基问题。对此 @贾明子 有很多相关内容：

如何看待和理解量子达尔文（Quantum Darwinism）主义？?

www.zhihu.com图标量子退相干到底是什么意思??

www.zhihu.com图标

我的更多科学类回答：

如何用线性代数理解量子力学？?

www.zhihu.com图标老问题了，什么是熵？?

www.zhihu.com图标为什么张量是不变数？?

www.zhihu.com图标

其实个人觉得不需要用"薛定谔的猫"去理解叠加态，从数学上来理解，会更加简洁明了，感觉不会有那种所谓的"又生又死"的玄学感！

本征态和叠加态关键还是得看你测量的是什么，或者说取决于你关注的可观测量。同一个态，对于一个可观测量可能是本征态，而对于另外一个却是叠加态，所以不谈关注的物理量(自伴运算元)，谈本征态还是叠加态没什么意思！

态是物理复希尔伯特空间里的一个元素，一般来说，线性空间都会有一组基(选择公理)，其中的元素可以写成这些基的线性组合，当然量子力学里的可观测量是一些稠定的自伴运算元，它们的谱(不严谨地说，特征值)是一个稠密的连续谱，比如位置算符X,它的谱就是一些这样的x,对应的特征向量就是Ⅰx&>。

在选定了这个运算元X的前提下，我们可以把态写成这种形式(这里暂时不讲自旋，讲自旋时这个希尔伯特空间还要tensor上一个2维的线性空间)

根据量子力学的基本公理，你选定好这个运算元后，你的态就可以写成这种形式，类似于你线性空间选好了一组基后，你可以把任意一个向量写成基的线性组合！这就是所谓的叠加态，关键在于测量，只有你去测量它了，你才能得到结果，不去测量它，你就不知道它到底是处于哪个态！一但去测量了，对应到数学上就是，你用你的自伴运算元去作用它，就会得到一个数值，对应的就是运算元作用这个态矢量得到的相应的本征值，此时得到对应的态(本征矢量)，就是所谓的坍缩，测量得到某个值xi(本征值)就是去计算相应的概率，P(xi)=Ⅰ&Ⅰ^2！

如果你的态不是选定运算元的本征态，不在特征子空间里面，这就是所谓的叠加态，当你的运算元有离散的谱时，可以写成这些本征态的线性组合连续谱时，就写成上面的积分，那么你去测量它，相应地得到某一个值的概率，比如测量位置，测量动量，是本征态还是叠加态则相当不同，具体的差别只要做一个简单的计算，便可了解其中的差异。

简单地说就是你想像一个正常的二维座标系下有两个基矢 [公式] , [公式] . 然后你发现有个矢量 [公式] ，这就是个这组基下的叠加态，因为它必须是两个基矢叠加而成： [公式] 。另一个矢量 [公式] ，就是个这个基下的本征态，因为可以只用一个基矢 x 表示，不需要别的基矢来叠加： [公式]。但是如果我只跟你说有个 [公式]，不告诉你分量怎么办？算内积啊~~ [公式]， [公式]。

所以叠加态和本征态理所应当的是相对某组基来说的，如果你换一组基（比如旋转一下），v 可能就是这组基下的本征态了。

把这个换成量子力学的黑话就是这样的：

你想像一下一个二态系统，物理量 H 有两个本征态 [公式] 和 [公式]，那么一个态 [公式] ( [公式] , [公式] ) 就是一个叠加态。这个态测量出对应的两个 H 值的概率分别是 [公式] 和 [公式]，对应的两个可能的测量值分别是 [公式] 和 [公式]。但是如果我只告诉你有个态 v，不告诉你概率怎么办？算内积啊~~ [公式]， [公式] 。

感觉一下就高大上了??

假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的一种，那么它们的归一化线性组合称之为叠加态，根据态叠加原理，它们也可以是该量子系统的量子态。

这些线性独立量子态实际上构成了该量子系统量子态空间的"基底"，但是这组基底不需要固定只能选某一组，"叠加态"量子态也可以作为该量子系统量子态空间的一个"基矢"。独立的量子态或叠加态没有必然的区别，叠加态只是选定基底后量子态不同表述罢了。(还要注意，根据定义，基底自身也算是叠加态)

注意上述描述还有些不严谨之处：

每个量子态与系统的一个状态是一一对应的，对该量子态对应的(一族)态矢 [公式] 乘上一个复数 [公式] 不会改变该态矢对应的量子态，表明其包含了冗余自由度，因此我们才有 "归一化" 来限制对应关系，严格来讲因此量子态空间不是向量空间，更难谈及基底等概念。但是我们在上述定义中已经提到了量子态的 "线性组合"，实际上隐含了背后的一个向量空间，这就是态矢存在的空间，也即是对应的希尔伯特空间 [公式] 。而我们所说的"基矢"，实际上是这些不同量子态对应的态矢构成了该希尔伯特空间 [公式] 的一组基底，而量子态空间则是扣去 [公式] 的零元( [公式] )后商掉一个等价关系 [公式] 后的空间。

该等价关系定义为： [公式]

这可以用射影空间的记号来表述：量子态空间 [公式]

和平凡基矢不同但是更为微妙的东西是本征态，我们一般更常讨论本征态与叠加态的关系。本征态的集合可以是基矢，并且其中仍然存在可以组成正交归一的基底的矢量组。

假设有可观测量的算符 [公式] ，那么其本征态定义为该算符的特征态矢： [公式] ， [公式] 。可以看到，该定义表明本征态像基底选择一样仍然是相对的，是相对于可观测量算符来说的。而这些所有的本征态组成的空间则是该算符对应的测量投影运算元将会投影到的空间(被观测后的量子态一定在其中)。而采用正交归一本征态作为基底的一大好处就是当某个量子态(对应态矢) [公式] 时，其处于某个所有具有相同特征值基矢 [公式] ( [公式] 为一组不重复数列，并且这些数满对应基矢满足上述条件)组成的特征值空间的概率 [公式] 就为： [公式]

我们继续：

比如电子自旋，选z轴自旋向上 [公式] 和z轴自旋向下 [公式] 作为电子自旋的基底（同时对应可观测量 [公式] 代表测量z轴自旋），那么y轴自旋向上 [公式] ，y自旋向下则为： [公式]

此时y轴自旋向上或向下不是基矢只是一般的叠加态，更不是本征态，但是我们同样可以选 [公式] , [公式] 来作为电子自旋基底，并使用 [公式] 作为可观测量算符，此时它就是作为基底的叠加态，同时更是本征态。就像薛定谔的猫，可以使用 [公式] 与 [公式] 作为基底，但我们也可以使用 [公式] ， [公式] 作为基底，叠加态和所谓"单独"量子态基底并没有什么明显的界限。如果我们有可以观测 [公式] 这样半死不活状态的仪器(作为可观测量)，而不是只有死或活的评判仪器，那么该猫可以处于确切的量化的半死不活本征状态 [公式] 或 [公式] ，而不是死、活的确切状态。

同样的关于自旋的理解还可以延申到质子与中子的"同位旋"上。质子和中子除了它们电荷不同外，其它行为都几乎相同，因此我们还有忽略其电荷描述它们状态的一套工具：同位旋。

当选定一个质子状态作为基底后，就定出了质子和中子的评判标准(就像选定自旋向上状态后，自然定出自旋向上向下的评判标准)。该套规定不但有整体规范(同时改变全时空的评判标准)不变性，还可以像"基底"选择那样思考。由于宇宙有定域性，某点的规范选择不会瞬间给到全时空，不如像基矢场一样来理解全时空每点的评判标准，局域规范就是从一个基底场变到另一个基底场，像"坐标变换"一样。由此就有了 局域规范理论 和局域规范不变性，诸如电磁场电磁四势的规范变换： [公式] 就是局域规范不变性的体现。再向下发散就得到了 杨-米尔斯规范场论。

(好像发散的有点过头[doge])

这个我也只会从数学角度解释，单纯说还是功力不够

「小（定义见Dirac的著作）」的物质被量子力学描述，他们会构成一个系统！系统或者单个粒子的状态叫做量子态

量子态能够对应右矢空间中多个矢量，但 可以用自相加不变原理将矢量进行所谓的归一化处理从而确定出一个

因为「小」所以测量会对其产生影响，从而与之对应的是算符，以及右矢空间中的一组基矢

一旦右矢不是算符的本征矢，那么就会在所有基矢上有分量，产生了叠加的效果；反之就会只在一个基矢上有分量

也就是，只要量子态对应的右矢不是算符的本征矢的时候，那么就会有所谓的叠加态

而且Dirac把axiom of superposition作为了最基本的公理，值得细细体会

简单的说，瓶子里有两个球，A和B。

你摇晃瓶子，把一个球摇出来。在你不看球的时候，你觉得这个球是A还是B？

你不知道。

A和B的概率都有。

所以在你印象中，这个球既不是A，也不是B。或者说既是A也是B。这就是一种概率叠加的状态，也就是你说的叠加态。

多元特性，不确定性，多重可能叠加在一起，一切皆有可能

打个比方，在你面前有一个阴阳太极图案，当这个图案快速转动的时候，阴鱼与阳鱼互相重叠，如果你不将这个图案停下来，你就无法说清楚哪个是阴鱼哪个是阳鱼，不论是计算也好还是怎么也好，你都只能将这两条鱼视为一个整体，将太极图案看作是一个灰盘子来处理。

推荐阅读：
相关文章