需要注意的一點，本徵態和疊加態是一個相對而言的概念，你不能指著一個態說它就是疊加態，它就是本徵態，一定得說它是相對於那個物理量而言的。

完全可能一個態對於物理量A來說是本徵態，對物理量B就是疊加態。

從數學上的定義而言，態是共線的非零態向量的等價類，而一個而本徵態，就是一些共線特徵向量的等價類，對於物理量A，它對應著希爾伯特空間的一個自伴運算元A，對於複數a，如果 [公式] ，a稱為A的點譜（或特徵值）， [公式] 稱之為 a對應的特徵子空間，特徵子空間中的非零向量的共線等價類就叫本徵態，特徵子空間的維數稱為a的簡併度。

對於點譜而言，投影 [公式] 非0，它就是 [公式] 對應的正交投影運算元，所以 [公式] ，測量A的概率 [公式] 就變成了單點測度，也就是隻有測出a這一種可能。

相反，對於不屬於某個特徵子空間的態，就叫疊加態，所以疊加態纔是普遍，本徵態纔是罕見的，只是有所謂退相干機制讓你使用某種儀器去觀測粒子，由於儀器和粒子的相互作用，會使得疊加態變成本徵態，這其中仍然是物理量依賴的，因為測量某個物理量必須使用相關的儀器，或者調整儀器的狀態。

所以不用那麼多數學概念本徵態就是測量某個物理量，一定只能得出單獨結果的態。這東西顯然是物理量依賴的，所以不能直接說某個態就是疊加態。

1，幾個態的疊加態是不同於這幾個態的一個新的態。

很多敘述過分強調了疊加態和原態的聯繫，而忽略了疊加態和原有態的區別。

例如說，按一些說法|1&>和|2&>的疊加態a|1&>+b|2&>，「部分處於|1&>態，部分處於|2&>態」或者「以概率|a|^2處於|1&>態，以概率|b|^2處於|2&>態」，以及流傳最廣的「貓部分地處於死態，部分地處於活態」。

這些說法都只強調了疊加態和原有態相同的部分，但沒有提到新態和原態的不同。

例如，根據傅裏葉變換，很多波函數都可以用平面波函數疊加而成:

[公式]

其中ψ（x）可以是高斯函數，即一維諧振子的基態，這是一個束縛態，但疊加為這個束縛態的所有態都是平面波，即非束縛態。一堆非束縛態疊加成了一個束縛態，可見疊加態不僅有和原態類似的性質，更有不同於原有的態的性質。疊加態是不同於原有態的一個新的態。

（這段具體可以見喀興林老師書中對態疊加原理的說明）

2，疊加態是相對的。

由於「薛定諤的貓」的例子影響廣泛，聽多了「貓處在又死又活的疊加態」，大家會產生「又死又活」是疊加態，由「死」和「活」兩態疊加而成。

但其實也可以反過來說「死」或者「活」是由「又死又活」疊加而成的疊加態。

例如|1&>=(|死&>+|活&>)/ [公式], |2&>=(|死&>-|活&>)/ [公式]，那麼有|死&>=(|1&>+|2&>)/ [公式]，|活&>=(|1&>-|2&>)/ [公式]

可以看到這時候「死」和「活」就是疊加態了。可見疊加態不是絕對的而是相對的。這點 @YorkYoung 回答裏有更進一步的說明。

所以問題關鍵不是「什麼態是疊加態，什麼態不是疊加態」而是「為什麼我們只能測到|死&>和|活&>態，測不到|1&>和|2&>態」，這是偏好基問題。對此 @賈明子 有很多相關內容：

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其實個人覺得不需要用"薛定諤的貓"去理解疊加態，從數學上來理解，會更加簡潔明瞭，感覺不會有那種所謂的"又生又死"的玄學感！

本徵態和疊加態關鍵還是得看你測量的是什麼，或者說取決於你關注的可觀測量。同一個態，對於一個可觀測量可能是本徵態，而對於另外一個卻是疊加態，所以不談關注的物理量(自伴運算元)，談本徵態還是疊加態沒什麼意思！

態是物理復希爾伯特空間裏的一個元素，一般來說，線性空間都會有一組基(選擇公理)，其中的元素可以寫成這些基的線性組合，當然量子力學裡的可觀測量是一些稠定的自伴運算元，它們的譜(不嚴謹地說，特徵值)是一個稠密的連續譜，比如位置算符X,它的譜就是一些這樣的x,對應的特徵向量就是Ⅰx&>。

在選定了這個運算元X的前提下，我們可以把態寫成這種形式(這裡暫時不講自旋，講自旋時這個希爾伯特空間還要tensor上一個2維的線性空間)

根據量子力學的基本公理，你選定好這個運算元後，你的態就可以寫成這種形式，類似於你線性空間選好了一組基後，你可以把任意一個向量寫成基的線性組合！這就是所謂的疊加態，關鍵在於測量，只有你去測量它了，你才能得到結果，不去測量它，你就不知道它到底是處於哪個態！一但去測量了，對應到數學上就是，你用你的自伴運算元去作用它，就會得到一個數值，對應的就是運算元作用這個態矢量得到的相應的本徵值，此時得到對應的態(本徵矢量)，就是所謂的坍縮，測量得到某個值xi(本徵值)就是去計算相應的概率，P(xi)=Ⅰ&Ⅰ^2！

如果你的態不是選定運算元的本徵態，不在特徵子空間裡面，這就是所謂的疊加態，當你的運算元有離散的譜時，可以寫成這些本徵態的線性組合連續譜時，就寫成上面的積分，那麼你去測量它，相應地得到某一個值的概率，比如測量位置，測量動量，是本徵態還是疊加態則相當不同，具體的差別只要做一個簡單的計算，便可瞭解其中的差異。

簡單地說就是你想像一個正常的二維座標系下有兩個基矢 [公式] , [公式] . 然後你發現有個矢量 [公式] ，這就是個這組基下的疊加態，因為它必須是兩個基矢疊加而成： [公式] 。另一個矢量 [公式] ，就是個這個基下的本徵態，因為可以只用一個基矢 x 表示，不需要別的基矢來疊加： [公式]。但是如果我只跟你說有個 [公式]，不告訴你分量怎麼辦？算內積啊~~ [公式]， [公式]。

所以疊加態和本徵態理所應當的是相對某組基來說的，如果你換一組基（比如旋轉一下），v 可能就是這組基下的本徵態了。

把這個換成量子力學的黑話就是這樣的：

你想像一下一個二態系統，物理量 H 有兩個本徵態 [公式] 和 [公式]，那麼一個態 [公式] ( [公式] , [公式] ) 就是一個疊加態。這個態測量出對應的兩個 H 值的概率分別是 [公式] 和 [公式]，對應的兩個可能的測量值分別是 [公式] 和 [公式]。但是如果我只告訴你有個態 v，不告訴你概率怎麼辦？算內積啊~~ [公式]， [公式] 。

感覺一下就高大上了??

假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的一種，那麼它們的歸一化線性組合稱之為疊加態，根據態疊加原理，它們也可以是該量子系統的量子態。

這些線性獨立量子態實際上構成了該量子系統量子態空間的"基底"，但是這組基底不需要固定只能選某一組，"疊加態"量子態也可以作為該量子系統量子態空間的一個"基矢"。獨立的量子態或疊加態沒有必然的區別，疊加態只是選定基底後量子態不同表述罷了。(還要注意，根據定義，基底自身也算是疊加態)

注意上述描述還有些不嚴謹之處：

每個量子態與系統的一個狀態是一一對應的，對該量子態對應的(一族)態矢 [公式] 乘上一個複數 [公式] 不會改變該態矢對應的量子態，表明其包含了冗餘自由度，因此我們纔有 "歸一化" 來限制對應關係，嚴格來講因此量子態空間不是向量空間，更難談及基底等概念。但是我們在上述定義中已經提到了量子態的 "線性組合"，實際上隱含了背後的一個向量空間，這就是態矢存在的空間，也即是對應的希爾伯特空間 [公式] 。而我們所說的"基矢"，實際上是這些不同量子態對應的態矢構成了該希爾伯特空間 [公式] 的一組基底，而量子態空間則是扣去 [公式] 的零元( [公式] )後商掉一個等價關係 [公式] 後的空間。

該等價關係定義為： [公式]

這可以用射影空間的記號來表述：量子態空間 [公式]

和平凡基矢不同但是更為微妙的東西是本徵態，我們一般更常討論本徵態與疊加態的關係。本徵態的集合可以是基矢，並且其中仍然存在可以組成正交歸一的基底的矢量組。

假設有可觀測量的算符 [公式] ，那麼其本徵態定義為該算符的特徵態矢： [公式] ， [公式] 。可以看到，該定義表明本徵態像基底選擇一樣仍然是相對的，是相對於可觀測量算符來說的。而這些所有的本徵態組成的空間則是該算符對應的測量投影運算元將會投影到的空間(被觀測後的量子態一定在其中)。而採用正交歸一本徵態作為基底的一大好處就是當某個量子態(對應態矢) [公式] 時，其處於某個所有具有相同特徵值基矢 [公式] ( [公式] 為一組不重複數列，並且這些數滿對應基矢滿足上述條件)組成的特徵值空間的概率 [公式] 就為： [公式]

我們繼續：

比如電子自旋，選z軸自旋向上 [公式] 和z軸自旋向下 [公式] 作為電子自旋的基底（同時對應可觀測量 [公式] 代表測量z軸自旋），那麼y軸自旋向上 [公式] ，y自旋向下則為： [公式]

此時y軸自旋向上或向下不是基矢只是一般的疊加態，更不是本徵態，但是我們同樣可以選 [公式] , [公式] 來作為電子自旋基底，並使用 [公式] 作為可觀測量算符，此時它就是作為基底的疊加態，同時更是本徵態。就像薛定諤的貓，可以使用 [公式] 與 [公式] 作為基底，但我們也可以使用 [公式] ， [公式] 作為基底，疊加態和所謂"單獨"量子態基底並沒有什麼明顯的界限。如果我們有可以觀測 [公式] 這樣半死不活狀態的儀器(作為可觀測量)，而不是隻有死或活的評判儀器，那麼該貓可以處於確切的量化的半死不活本徵狀態 [公式] 或 [公式] ，而不是死、活的確切狀態。

同樣的關於自旋的理解還可以延申到質子與中子的"同位旋"上。質子和中子除了它們電荷不同外，其它行為都幾乎相同，因此我們還有忽略其電荷描述它們狀態的一套工具：同位旋。

當選定一個質子狀態作為基底後，就定出了質子和中子的評判標準(就像選定自旋向上狀態後，自然定出自旋向上向下的評判標準)。該套規定不但有整體規範(同時改變全時空的評判標準)不變性，還可以像"基底"選擇那樣思考。由於宇宙有定域性，某點的規範選擇不會瞬間給到全時空，不如像基矢場一樣來理解全時空每點的評判標準，局域規範就是從一個基底場變到另一個基底場，像"坐標變換"一樣。由此就有了 局域規範理論 和局域規範不變性，諸如電磁場電磁四勢的規範變換： [公式] 就是局域規範不變性的體現。再向下發散就得到了 楊-米爾斯規範場論。

(好像發散的有點過頭[doge])

這個我也只會從數學角度解釋，單純說還是功力不夠

「小（定義見Dirac的著作）」的物質被量子力學描述，他們會構成一個系統！系統或者單個粒子的狀態叫做量子態

量子態能夠對應右矢空間中多個矢量，但 可以用自相加不變原理將矢量進行所謂的歸一化處理從而確定出一個

因為「小」所以測量會對其產生影響，從而與之對應的是算符，以及右矢空間中的一組基矢

一旦右矢不是算符的本徵矢，那麼就會在所有基矢上有分量，產生了疊加的效果；反之就會只在一個基矢上有分量

也就是，只要量子態對應的右矢不是算符的本徵矢的時候，那麼就會有所謂的疊加態

而且Dirac把axiom of superposition作為了最基本的公理，值得細細體會

簡單的說，瓶子裏有兩個球，A和B。

你搖晃瓶子，把一個球搖出來。在你不看球的時候，你覺得這個球是A還是B？

你不知道。

A和B的概率都有。

所以在你印象中，這個球既不是A，也不是B。或者說既是A也是B。這就是一種概率疊加的狀態，也就是你說的疊加態。

多元特性，不確定性，多重可能疊加在一起，一切皆有可能

打個比方，在你面前有一個陰陽太極圖案，當這個圖案快速轉動的時候，陰魚與陽魚互相重疊，如果你不將這個圖案停下來，你就無法說清楚哪個是陰魚哪個是陽魚，不論是計算也好還是怎麼也好，你都只能將這兩條魚視為一個整體，將太極圖案看作是一個灰盤子來處理。

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