為什麼偏導函數存在會不連續？
例子我也有但是真的不知道為什麼，不是一元導函數一定連續嗎？
數學是這樣，可以嚴格證明的事情，往往是基本的、重要的定理，你去理解、記住，學會分辨這些關係。不能證明的結論，不能簡單舉個例子就覺得是對的。
0.可導/可微。前進或後退一小段距離，函數值變化一點點，或者增大或者減小；但是，這個變化量要「光滑」，也就是與前進或後退的距離成正比。
單側導數。有時候單側導數更有意義，旋轉360°就是各個方向的方嚮導數了。
看這個例子：二元函數z(x,y)=|x| （好比一本翻開90°的書）在原點任意方向有方嚮導數，但沒有關於x的偏導數（y=|x|有單側導數/方嚮導數，但不可導）。
方嚮導數可能有模糊的地方，取信這個比較合理。其實大可不必糾結，因為一般更有用的概念是梯度，因此解析函數才有討論的必要，個別概念稍微有疑問的話，解答題自己註明一下自己的定義就好了（註明到底是單側還是雙側）；選擇題結合題意。
1.「連續不一定可導。」可以找到處處連續、處處不可導的函數，並且理論上這種「怪」函數跟無理數類似，佔大多數。
2.「可導一定連續。」很簡單，自己去證明一下，形式上寫幾行公式，以後就不會錯了。
3.理解「連續可導」。連續可導指的是該函數可導（故而一定連續，至少在可導的點上），並且導函數連續。二階連續可導，指的是二階導存在，而且二階導連續。那麼二階導光滑嗎？三階導存在嗎？不知道。
https://blog.csdn.net/duan_zhihua/article/details/78144452?blog.csdn.net4. 偏微分存在。類似一元函數存在導數。
全微分存在。每個方向的方嚮導數都存在，判斷方法類似於二元函數的極限。
多元函數中可微與可導的直觀區別是什麼？?www.zhihu.com
一元函數的反例：
（一元函數可以看成被平面與二元函數曲面的截線，既然一元都有反例，二元不必多說）
導函數是不連續的，用這個例子試著去理解一下你的問題。
解答：
事實為上面的情況，即 ？是存在的，且
也就是說，函數g(x)處處存在，表達式為：
但是為什麼g(x)不連續呢？因為：
,左右極限都不存在，自然
,這是第二類間斷點。
第一類：左極限、右極限都存在且為有限值。
1.可去（左右存在且相等，也就是（趨於）該點的極限存在，但不等於該點函數值，或者該點函數值沒有定義）
2.跳躍(左右存在但不相等，也不等於無窮大)
第二類：無窮或振蕩。
1.左右極限為無窮大（無窮）
2.左右極限至少一個不存在（振蕩）
最後，再次強調，不妨閱讀這張圖裡面的概念，試著自己總結一張表出來？
https://blog.csdn.net/duan_zhihua/article/details/78144452?blog.csdn.net誰教你的一元導函數一定連續？
我覺得你的問題在於不知道咋的記住了一元導函數一定連續的錯誤結論
我這樣想的
已知是偏導函數存在，二元函數z=f(x,y)中，可以把函數想像成曲面，對x偏導相當於把y看做常數，y=c的地方作一個平行於x軸垂直於xoy面的平面，平面與z曲面相交於一條線，這條線可導，c取遍y時就是對x的偏導函數。對y偏導也是這樣。
然後再把垂直於xoy面的平面旋轉某個角度，這時候與z曲面相交的直線可能會出現不可導的情況。例子你知道|?ω?｀)
差不多就這個意思了。
一元函數里學過可導必連續，放到n元函數里仍然適用，但是n元函數的某個偏導數存在只能說明該函數在該元坐標軸方向連續，n維空間里可不只有平行於坐標軸這一種趨近路徑，還有y＝kx，y＝kx^2等直線和曲線路徑，這些複雜路徑上不一定連續。
問：偏導數為什麼會出現不連續的情況？
再問：偏導數為什麼會出現連續的情況？
反問：偏導數是個啥？
導數最開始的定義就是局部化條件下函數線性近似時候的斜率，或者作為自變數的微分dx的係數。
它是局部化條件下的產物，要求它一定要全局上連續是不是太苛刻了呢？（不過這個世界還真的是挺苛刻的啊）
以上我扯的一些東西可以當作這種不連續存在的一個充分性吧，我們假定上面的感覺是正確的，那麼那樣的例子的存在是必要的。（說法不是很嚴謹，甚至可能有很多錯誤，歡迎指正QAQ）
我是這麼理解的，不太嚴謹，只是個人理解。我們都知道山體滑坡吧，山體無法承受住這一部分重量，它就會滑下去。
我們假設滑坡位置是原點o，整塊泥土是是垂直掉落的，滑坡面平行於z軸，他的塌陷面不會很平滑。
我們貼著山體滑坡面繼續往下切，這一刀就是平行於xoz，垂直於y軸的一刀，我們在這個平面上做切線，這個切線得出的是x在0處的的偏導，這個偏導是存在的。
我們再延xoy切一刀，垂直於x，做y=0處的切線，但是我們發現，哎呀它中間塌掉了，在0處，它的切線並不能和剛剛那個接上。
垂直的山體滑坡，雖然滑坡面是連續的，但是它垂直，這樣，滑坡之後就會有切線在滑坡處接不上，它是斷掉的，所以即便存在，它也不可連續。
我只是個喜歡數學的小廢柴，各位大佬嘴下留情。
我覺得，會產生這樣的疑問，一方面是因為一元函數裡面的結論(可導必連續)的影響，總想著將一元函數的情形類推到二元函數上，但其實二元函數大不一樣。一元函數裡面，導數即是全部的導數，說可導必連續是無爭議的，確定性的，二元裡面，偏導數只是兩個，一個對x的，一個對y的，僅這兩個存在，不能說明什麼，以偏概全。
另一方面，是空間想像能力不夠，既然你說不成立，那肯定有反駁它的例子，但事實上，書上也只是舉了一個書面的例子
f(x,y)=xy/(x^2+y^2)；0
我相信這個例子肯定是正確的，但說服性一定不夠，大家總想去腦補一下不連續的情形，但無奈很難想到。比如下面這個www.math.harvard.edu/archive/21a_fall_09/exhibits/bitch/
對於多元函數，可微和連續是在「以任意方向取極限都成立」的意義下提出的
但是偏導存在，只需要在某個方向上（比如x方向、y方向）取極限成立即可
在一元的場合，因為只有一個方向，所以連續和可導都是在這個方向上取極限，這樣才能有可導推出連續的結論
這是從它們定義本身的角度去理解，至於反例，這個應該每本數學分析的書上都會有吧
還有，題主問的問題是不是有問題呢？你是認為偏導數一定要連續嗎？這個結論在一元場合也是不會有的啊
是為什麼偏導函數存在偏導函數會不連續，最好能用幾何解釋一下，謝謝大佬
推薦閱讀：
