问题如下:

对 进行Fourier变换，得：

再根据Fourier反演定理 ，得：

易知 ，所以：

再根据偶函数的性质，可得：

我只是指路的：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/150468571

纯正的Laplace积分

建议看 @Aries 大佬的专栏，有多种方法详细的证明

https://zhuanlan.zhihu.com/p/150468571

这里只是为了写回答来水经验的，也不想敲latex了，就随便写了一点，最后的一元积分由换元即可得到，就不写过程了。

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这是经典的laplace积分，答案是π*exp(-βx)/2/β。

知乎最近传不了图片了，等有时间再码一个吧。

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