問題如下:

對 進行Fourier變換，得：

再根據Fourier反演定理 ，得：

易知 ，所以：

再根據偶函數的性質，可得：

我只是指路的：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/150468571

純正的Laplace積分

建議看 @Aries 大佬的專欄，有多種方法詳細的證明

https://zhuanlan.zhihu.com/p/150468571

這裡只是為了寫回答來水經驗的，也不想敲latex了，就隨便寫了一點，最後的一元積分由換元即可得到，就不寫過程了。

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這是經典的laplace積分，答案是π*exp(-βx)/2/β。

知乎最近傳不了圖片了，等有時間再碼一個吧。

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