覀兡米咭活w沙粒，那麼還是有一堆；如果我們再拿走一顆沙粒，那麼還是一堆。如果我們就這樣一次拿走一顆沙粒，那麼當我們們取得只剩下一顆沙粒，那麼它還是一堆嗎？

---

堆指的難道不是形狀嗎，即使同樣是1000000顆沙粒，如果是平鋪在地面上的，就不能稱為一堆。

---

這就是經典集合論無法解決的「模糊性」的問題，需要用 模糊集合論 （創始人是UCBerkeley的 Zadeh）來解釋。

（若有興趣，可以參考：羅承忠著《模糊集引論》），下面我簡單地介紹一下。

經典集合論中，對於元素x和集合A，元素的隸屬度函數

也就是說，元素 要麼屬於A（即 ），要麼不屬於A（即 ）。

但是，在模糊集合論中，隸屬度函數

也就是說，元素x可以以A(x)的程度屬於A，在這樣的定義下，A是一個模糊集。

（它有一套嚴謹的定義，更詳細的內容可以參考之前提到的書）

回到沙堆問題，在論域U， 代表特定數量m的沙子，A代表沙堆集合。

如果在經典集合論中， 要麼是沙堆，要麼不是沙堆，需要有一個明確的界限，m滿足怎樣條件時候(例如m&>1000)，它就是沙堆( )，否則它就不是沙堆（ ）.

而在模糊集合論中,舉個例子，我可以定義，

,

，

這樣，小於等於100粒沙子，我們認為它不是沙堆，100至1000時，我們認為一定程度上是沙堆，

而大於等於1000時，我們認為它就是沙堆，可以很好地解釋這個沙堆問題。

若干年前，學界里有一些人並不承認以模糊集合論為基礎的模糊數學，認為它是偽科學。但是，它在控制論等領域的效果，很大程度上超過了以經典集合論為基礎的控制方法，於是它也逐漸地被學界承認，在人工智慧等領域有很多應用。（儘管它一直挺小眾，似乎不溫不火的）

在很多時候，模糊數學、模糊性，是和人的認知是相契合的。

例如，若你有一捧沙子，問一個人，這是不是一堆沙子，他可能會回答：「可能是吧」；若你有更多的一大捧沙子，問一個人，這是不是一堆沙子，他可能會回答：「很可能是」；如你有一小把沙子，問一個人，這是不是一堆沙子，他可能會回答：「應該不是吧」。

從他的回答中，我們可以看出來他對一堆沙子是有概念的，但是很多時候人們沒有辦法精準地表達出來，而是只能給出一個大致的描述，這就是模糊性。

---

沙堆悖論的出現，是因為「堆」的表達方式是模糊的，沒有準確的邊界，使得概念模糊不清，缺少清晰的界限。

你掉頭髮嗎？別擔心，你永遠不會禿頭，邏輯上不可能。不相信？那請仔細看：假設你今天有滿頭頭髮，可是每一秒就掉一根，從什麼時候算起你將是禿頭呢？哪一根頭髮將是關鍵性的，在那之後你就算禿頭？任何一根都不是。誰要是滿頭的頭髮，那就是滿頭的頭髮，即使掉了一根，也不會改變這個事實。一根頭髮不能決定你是不是禿頭，這個規則可以一直適用下去，包括在第一根頭髮掉落後，與第二根頭髮掉落之前。所以你可以一直掉任意多根的頭髮，而且永遠都不會禿頭——就算你頭上一根頭髮也不剩也是一樣。你放心了嗎？大概不會。但是這個推論錯在哪裡呢？

古代哲學就已經提出了這種沙堆悖論（Sorites-Paradox：Sorites 是古希臘文，意思是「堆」），當時的問題是：幾粒沙子算是一堆？或者，我能從一堆沙里取走多少粒，讓那堆沙子不再算是一堆？

這種悖論之所以會出現，是因為「堆」與「禿頭」等表達方式是模糊的，沒有準確的邊界；如果我們可以設想出臨界的情況，讓這個概念彷彿可以適用又好像不可以，就構成模糊不清。模糊不清不只在哲學裡算是個大問題，在法律、醫學或運動領域裡，同樣都構成問題，事實上任何有流動的過渡狀態都成問題。什麼叫「過度」消費？什麼時候胚胎不再是胚胎，而是一個「人」？什麼行為算是「重大過失」？需要滿足什麼條件，一個人才算是「無判斷能力」？這全都是非常困難但至關重要的問題。所以模糊不清不只是哲學框框內的玻璃珠遊戲，而是真正的問題，在社會的各個領域中層出不窮。

沙堆悖論該如何解決？

最低 0.3 元/天開通會員，查看完整內容

購買該電子書查看完整內容

電子書

挑戰認知邊界：怪誕又實用的枕邊書（共8冊）

伊夫·博薩爾特 等

博集出版社

￥94.99 會員免費

---

定義問題。

【堆】沒有描述式定義，只有列舉式定義。

即：我們不能嚴格地說【什麼什麼樣的沙子是沙堆】，只能說【這是沙堆，那是沙堆，那也是沙堆……】

列舉式定義沒有嚴格邊界，而沒有嚴格邊界的概念都會引發這種【慢增長越界式】悖論。

---

4粒沙子就能組成一堆。

三粒在下，一粒在上。

---

推薦閱讀：

相关文章