我看了一大堆書和論文就是看不懂，太專業了，有沒有大神能舉個具體的例子說明下相關概念，萬分感謝。

純態就是態本身是完全確定的，沒有概率，概率是測量時才出現的。電子的自旋向上態就是一個純態，記為 [公式]，同樣，自旋向下態也是一個純態，記為 [公式] 。

混態就是態本身就包含了不確定性，有概率，比方說如果有雜訊，使得某個電子的自旋狀態不能完全確定，1/2的可能性自旋向上1/2的可能性自旋向下，這時候我們就說這個電子處於一個混態。這個混態可以表示為 [公式] 。和純態不同，出現混態的部分原因是由於我們對研究對象的無知。

糾纏態是對於多體系統而言的，如果整個系統的量子態不能因式分解成各個部分子體的量子態的乘積，那我們就說這個系統處於一個糾纏態。兩電子體系的自旋態 [公式]就是一個糾纏態（請看仔細，這個糾纏態的表達式和上一段的混態表達式根本不同），因為它不能因式分解成第一個電子的某個自旋態 [公式] 與第二個電子的某個自旋態 [公式] 的乘積 [公式] 這種形式。

當然混態和糾纏態是有關係的，對於一個兩體系統，如果它處在一個糾纏態，如果我們忽視其中的一體，那就必然會帶來對另一體的某種無知，這種情況下對另一體狀態的描述就是一個混態。

在現實具體的體系中考慮確實是一個理解概念的好方法。

我們可以考慮一個電子自旋，你可以理解為一個小磁針，事實上我們常用的鐵磁材料的磁性很大程度上就來自於電子自旋。

對於外磁場B之下的電子自旋，根據統計分布

當你將溫度T降低到遠小於 [公式] ，電子幾乎完全處於 [公式] 這個純態。當然具體實驗上有很多方法製備純態，這裡只是一個能簡單理解的方法。

接著你可以通過一系列U操作，去控制電子的方向。例如沿著y軸旋轉 [公式] ，你就得到了一個新的純態，也就是 [公式] 和 [公式] 的相干疊加態，

[公式]

這裡這個相位因子 [公式] 是個非常重要的因子。它可以類比於光學中的偏振現象。圓偏振光可以分解為線偏振光的疊加，但是這裡的相位或者說是角度非常重要 [公式]

這些光都是兩種線偏光的疊加，同時你也可以通過玻片等線性操作將其相互轉化。但是自然光則不行，你必須消除掉部分光強才能轉化為偏振光。這就類似於純態包括本徵態疊加態，你可以通過一系列U操作實現他們之間的轉化。而混態就類似於自然光，你無法通過一個U操作將其轉化為純態。而相位確定的疊加稱之為相干疊加，類似自然光這樣相位不定的疊加稱之為非相干疊加，也就是混態。

我們回到電子，看看混態是如何產生的。我們考慮的電子是一個孤立體系，但是你也知道在真實世界很難有孤立體系，實際上電子會與環境相互作用。假設環境處於一個多能級的疊加態 [公式] ，每個能級對電子相位產生一點點改變 [公式] ，整個體系就變為，

[公式]

而我們當前只能對電子進行測量。我們知道要確定這樣的疊加態的係數和相位需要多次測量。而每次測量都會導致環境坍縮到某個 [公式] ，此時對應著相位為 [公式] 。此時電子的相位不再是一個固定的相位，隨著時間的增長，相位的不確定程度越高。這一過程稱之為退相干，而電子自旋在這一過程中逐步變成了混態。

如果此時N=2， [公式] ,這就是一個最典型的糾纏態

[公式]

總結一下，糾纏態就是一個多系統的不可分的純態，混態是我們只觀察這個多系統純態中不可分割的一個小系統時的一個結果。

謝邀。簡單來說，對於一個開放的量子系統，我們可以把一個物理過程抽象成三部分：量子態及其製備，量子態的傳輸（空間演化）和演化（時間演化），量子態的測量。他們對應的數學描述是：

  • 量子態：密度矩陣
  • 傳輸和演化：quantum channel，也就是TPCP映射
  • 測量：CP映射

傳輸演化和測量合起來都叫量子操作。

你這裡說的，是關於量子態的。首先一個密度矩陣是一個運算元 [公式] 滿足：

  • 正定性，也就是 [公式] ，並且[公式]的本徵值非負
  • 跡歸一： [公式]

首先回答第一個問題，什麼是純態什麼是混態。數學地來看，概言之

  • 純態 [公式]
  • 混態 [公式]

物理上看，純態就是一個我們在量子力學裡面常常見到的態，就是用波函數 [公式] 來表示的（它對應一個純態密度矩陣 [公式] ，從中我們也可以看出，秩為1的密度矩陣肯定就是純態），而混合態就是他們的不相干概率混合，比如 [公式] 。可以參考我之前的回答

量子退相干到底是什麼意思??

www.zhihu.com圖標

關於第二個問題。什麼是糾纏。

先拿純態來說會比較直觀一點。我們知道，對於一個兩粒子態 [公式] ，如果它能寫成A和B各自的兩個波函數的直積，也就是說存在 [公式] ， [公式] 使得

[公式] （密度矩陣形式下： [公式] ）

那麼[公式]就叫可分態，如果一個量子態不是可分態，那他就是糾纏態。比如典型的Bell態

[公式]

就是一個糾纏態。純態的糾纏判定有一個很簡單的辦法，叫Schmidt分解，寫起來麻煩，我這裡就不詳細寫了，大部分量子信息教材裡面都有，比如Preskill chapter 2。也可以計算約化密度矩陣的von Neumann熵，這與糾纏的蒸餾和稀釋是對應起來的，也就是說他可以在一定意義上量化糾纏。

下面我們看怎麼推廣到混態密度矩陣上去。我們看到了兩個子系統的密度矩陣的直積[公式]是一個可分態，而將一組這樣的乘積密度矩陣進行經典的概率混合得到的結果，仍然應該是可分的，直觀上想。於是我們定義

可分態：如果對於一個密度矩陣 [公式]，如果存在一個概率分布 [公式] 以及兩組子密度矩陣 [公式] 和[公式]使得 [公式]，那[公式]就稱為是可分態。

糾纏態：不是可分態的量子態就是糾纏態。

量子糾纏的判定一直是一個公開的問題，也是量子信息理論裡面的一個核心的問題。對於粒子數比較少或者空間維數比較低的情況，有一些很好的結果，比如兩比特量子態的PPT（Horodecki-Peres判據）是充分必要的判據。其他情形下，我們目前還缺乏簡單有效的充要判據。

關於糾纏可以參考Horodecki家族09年寫的一片RMP綜述：

quantum entanglement?

arxiv.org

糾纏的判據可以參考Guhne和Toth寫的綜述

Entanglement detection?

arxiv.org

也可以參考我之前的回答：

量子糾纏，量子失協，量子熱機這些領域比較推薦的適合初入人群的綜述性文獻有哪些？?

www.zhihu.com圖標

數學上的描述就不說了，已經有人答得很好了。我那拿光子偏振作為例子說一下這三個概念吧。光子偏振是量子化的並且只有兩個本徵態（水平偏振 [公式] 和垂直偏振 [公式] ），如果光子偏振可以用純態描述，意味著光子偏振處於[公式] 和 [公式]的相干疊加，這時它可以用二維複線性空間中的歸一化矢量表示。假設你往起偏器（假設出射為水平偏振）打一束激光，那麼出射的光子偏振就被初始化為 [公式]。你後續加上光軸角度設置合適的半波片（HWP）和四分之一波片（QWP），光子偏振就可以演化成你想要的任意相干疊加態 [公式]，它的特點是光子偏振的H分量和V分量之間的相對相位是穩定的。因為相位關係確定，即便現在兩者的分量都不為零，但是你後續再加上角度合適的HWP和QWP後，你仍然可以將它演化回[公式]，沒有任何[公式]分量（表現為對這些光子進行多次偏振測量得到的結果都是一致的）。

如果光子偏振需要用混合態描述，就意味著光子偏振的[公式]和 [公式]分量之間的相位關係「不那麼」穩定了，有可能相對相位 [公式] 在某個值附近做隨機抖動，那這時候無論後續怎麼設置波片的角度，都無法獲得「純凈的」只有H分量的光子（意味著測量它的偏振時會有小概率獲得V偏振）。最極端的狀態是完全混合態，兩個偏振分量之間的相對相位沒有任何確定的關係，這時候怎麼你用任意兩個正交偏振作為測量基去測量光子偏振，所獲得的兩個結果概率都是對半分。這時光子偏振混合態需要用一個 [公式] 的復矩陣 [公式] 來描述，你可以將它類比為兩個隨機變數的互相關矩陣，非對角元素表徵了兩個偏振分量之間的相干強弱，對角分量表示對應偏振分量的強度。

光子與光子之間的相互作用是很弱的，但當它們經過某些非線性晶體就會產生相互作用（例如互相位調製），這時候沒辦法通過分別單獨描述兩個光子的偏振狀態以獲得兩個光子作為整體的偏振狀態的完備描述。假如我通過自發參量下轉換獲得一處於糾纏的光子對 [公式] ，那你分別單獨觀察任意一個光子時它都是處於完全混合態，但事實上兩者是完全相關的，也就是說你對其中一個光子進行偏振測量並獲得某個結果，那麼你再對另外一個光子偏振進行測量（相同的測量setting）的話獲得的結果是一致的，你沒法用兩個局部的完全混合態去描述這樣的一個整體關聯性質。（這個例子舉得不好。。。但推薦你去看preskill的量子信息講義中的chap4，裡面用Alice和Bob擲硬幣來說明糾纏，用來理解糾纏這種非局域關聯的相當instructive，而且還有些學術梗）

比如有個球。

純態，就是球是單色純紫色。

混合態，就是球一會純藍一會純紅，變化如此之快，以至於你放棄追蹤它什麼時候藍什麼時候紅，認為它是個一會藍一會紅的混合色。在有些情況下，這個「混合色「的表現好像和純紫色一樣。

所以混合態是個統計概念，和其他兩個概念本質不同。

糾纏態是純態。（下面的「態「都指純態。）就是有兩個球，你知道這是一個藍一個紅，但你無法分清誰藍誰紅（不是放棄分清，是物理上根本沒有辦法分清。這叫全同性，反直覺）。於是你無法定義每個球的顏色，只能定義兩個球一起是某種狀態（一個藍色+一個紅色），這就是兩個球的糾纏態。

然後你通過某些手段，讓這個糾纏態坍塌了（坍塌是滿足一定條件的態的變化），現在你仍然能確定他們一個藍一個紅（因為坍塌滿足這樣的條件），不過你現在能把兩個球分清了，某一個就是藍色，那麼另一個肯定就是紅色。這就是解糾纏。

重複強調：解糾纏改變了態。原來的態是無法確定誰藍誰紅的。

但如果我們硬要在糾纏態下單看一個球（理論上是沒法單看的，所以只是個統計條件下的近似。要近似的原因：因為另一個球我們不知道在哪/是啥/啥性質，或者糾纏的不是另一個球而是另外無數球，沒法處理），我們就認為這個球近似處在統計條件下一會藍一會紅的「混合態」。

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