波函数的连续性是量子力学的基本假设吗？

在一维无限深势阱的定态薛定谔问题中，用到了阱壁上波函数为 0 的边界条件，书上指出这是因为波函数的连续性要求。但无限深势阱的势能本身在边界处有跃变，而波函数却一定要连续，感觉没那么有说服力。求大神前辈指点。

一维无限深方势阱不是真实的，但却是有用的。

自然界不存在奇性，奇性是人为的，是模型过度简化的结果。

——张永德

这个问题讨论的应该是「坐标表象下的波函数连续性」，否则拿最简单的平面波做例子，坐标表象下无限次可导，够光滑了吧，但动量表象下是个δ函数。

说回问题，为什么坐标表象下的波函数具有一定的光滑性？我个人认为这是基于波函数概率诠释的物理要求。

首先要指出一点，波函数是怎么来的？大部分人第一反应是解薛定谔方程解出来的，但薛定谔方程描述的是波函数或态矢的演化，前提是已经有波函数或态矢了。态矢量或波函数假设和薛定谔假设在量子力学体系里是不同的两条假设，修改甚至删去薛定谔方程假设，态矢量或波函数依然在哪里。

我们先看假设没有薛定谔方程的情况下怎么得到坐标空间波函数。我们只讨论一维直角坐标系的问题，且讨论的区间限定在[0,1]，但相信仍然不失一般性。

设有一个粒子在x轴上[0,1]区间内运动，设P(x)为在区间[0,x]内找到该粒子的概率。则该粒子的波函数的模方为

以此我们可以把波函数确定到差一个相位的程度

这个过程完全不涉及薛定谔方程。

所以，波函数ψ(x)的性质应该由测量到的概率积累函数P(x)决定。

在很多人看来这似乎只是个把戏(trick)：「波函数概率诠释，你只不过是倒著说了一遍而已。」

但问题的核心就在这里，这个顺序在数学里也许不重要，但在物理里却非常重要：应该是ψ（x）决定P(x)，还是P(x)决定ψ(x)？

我们已经习惯了解薛定谔方程得到ψ(x)再做模方积分求P(x)，似乎后者是由前者决定的。但别忘了ψ(x)只是我们解一个微分方程的结果，而P(x)才是我们测量到的物理实际。如果还不能让你明白谁决定谁的话，不妨想想假如二者有分歧的时候你听谁的？

波函数ψ(x)由P(x)决定，波函数的连续性来自P(x)导数的连续性，波函数的可导性来自P(x)的二次可导性。

为什么断言P(x)有这么好的光滑性？因为P(x)是一个由物理现实决定的函数，数学函数个别点的奇性被「抹平」了。

假设，f(x)为测量到的概率密度函数，实际测量到的f(x)只能反映点x附近△x范围内的平均性质。而且这个△x不能任意小：它不能小于被测量的点粒子的康普顿波长λ=h/mc。

量子力学中对一个粒子位置的测量精度有限制，点粒子位置不确定度不能小于它的康普顿波长，因为在如此小空间范围内的量子涨落足以激发同类粒子影响测量。换海森堡的说法是，为了探测很小的空间范围，探测用的粒子波长极其短能量极其高，能量会转换为你要探测的粒子的同类粒子。

所以一维无限深方势阱壁处或者δ势处波函数的连续性并不成问题，因为我们测不到一维方势阱x=0和x=a点处以及δ势在x=0点处的奇性——由于空间解析度的限制，其实我们根本测不到任何一个点处的性质。

空间波函数ψ(x)只是对实验测到的概率累积函数P(x)和概率密度函数f(x)的一个理想化的简化模型，对于模型，要求就两个：一是能在要求的误差范围内和实验相符，二要简单。在能和实验相符的前提下，要求ψ(x)有一定光滑性无疑是合理的。

所以，对于「为什么空间波函数具有一定光滑性」或者「为什么空间波函数在某些奇怪的势的奇点处的连接条件要这么取」之类的问题，答案是因为这样得到的结果和实验相符，而且方便。

最后，关于数学和物理的关系，送几句张永德老师的名言给大家：

一维无限深方势阱不是真实的，但却是有用的。

自然界不存在奇性，奇性是人为的，是模型过度简化的结果。

经包子DFTBA建议重新排版了回答：

我的个人理解：波函数的连续性并不是「先验性的假设」，而应当是由其他公理推导出的一个结论，类似静电场中的「电势连续」。在势能不那么「奇葩」的情况下，满足薛定谔方程的能量本征函数应当满足波函数连续。而对于比较奇葩的势能情况下的能量本征函数，以及非能量本征函数，波函数未必连续。例子：1.奇葩势能情况下的能量本征函数：我自己凑出来的势能

在此情况下对应著一个本征值E和一个本征函数1/r，1/r显然不连续。2.非能量本征函数：比如位置本征函数，显然不连续。

那么既然波函数未必连续，为什么在题主的问题中可以用波函数连续来处理呢？

这是因为由物理意义，显然波函数在除去相位不确定性之后是唯一的。那么一旦能凑出来一个满足薛定谔方程的解，那么这个解就是正确的解。

所以我们先假设一个方便处理的「波函数连续」，来试试是否能解出符合要求的解。如果能解出，万事大吉，如果解不出，再作打算。这个就类似于静电场中用唯一性定理解题。我们先随便假设一个带几个参数的电场，然后调整参数看看能否凑成满足电场方程的形式。如果能，那么根据唯一性定理这个就是唯一的解。至于你问：为什么解可以表示成这几个参数形式的电场？答：蒙的。之前我附上的内容已经由评论中温明明放上了正确，完整的内容。讨论的是波函数导数连续的问题，而不是我最初以为的波函数连续的问题。

说说自己的想法。要求波函数具有连续性，在根子上这并不是一个数学问题，而是一个物理问题，这不是一个数学上的要求，而是一个物理上的要求。波函数是什么？波函数是我们用来描述一个量子系统的量，波函数为什么在不同空间位置上的值不同？用比较口语化的语言来说，是因为要研究的系统在不同空间位置上的性质不同，对吧？那什么叫连续？按照我们上面理解波函数的逻辑，连续就是说，空间上的两个点的距离趋于0时，对应两个点性质也趋于一致，对吧？从物理上来看，这点应该说是很显然的。

我们也可以换一个角度，要求波函数连续，在数学上处理也有简单之处。简单来说，波函数本身并不是可以直接测量的量，我们在实验室里可以看到的量是波函数在一段距离上的积分，也就是粒子在这段距离上出现的概率，那么如果我们有两个波函数A和B，A在全空间连续，B在全空间除了一个点附近连续，A和B除了这个不连续点附近的一小块区域外全同，那么事实上，无论我们把波函数取做A还是B，给出的物理预言在可操作意义上都没有区别，因为我们的仪器分辨不出那么一小小快地方的概率变化。既然如此，为啥不用数学上更简单的连续函数呢？（或者说，换个表述方式，假使有两个波函数A和B，除了离散的点外，A和B全同，在数学上A和B是不同的两个波函数，但在物理上A和B是没区别的，因为可观测量——在一段区间上出现的概率——模方的积分，对于两个函数是相同的，离散点不同不影响积分的值，它们会给出相同的物理预言）。但我们必须注意到，尽管这条理由有部分数学上的考虑，但根子依然在物理上，根本在于是数学上不同的两个波函数在物理上是相同的这一考虑。

从纯数学的角度也可以给出一些理由。因为薛定谔方程是坐标的二阶偏微分方程，要让薛定谔方程在所有的x处都有定义，那么它的解在必须全空间二阶可导，从一阶导数存在就可以推出波函数在全空间连续了。

对于题中所说的无限深势阱这个问题，倒是可以从数学上谈一谈。前面讲到薛定谔方程的解必须对x二阶可导，那么其一阶导数应当连续。但无限深方势阱的解一阶导却不连续。原因其实是这样的，无限深方势阱在实际世界中是不存在的，我们书里讲的无限深方势阱，可以理解为就是先取一个有限的势阱，求出波函数，这个波函数是本身连续，各阶导数也连续的，不违反二阶可导的要求，但这个波函数里带有参量V(势阱高度），再让V趋于无穷求这个波函数的极限，我们知道连续函数的极限未必是连续函数，最后得到的波函数是本身连续但一阶导数不连续的。所也就是说，从数学上讲，把这个解理解成连续函数的序列的极限才是数学上比较严格的做法，其实和狄拉克δ函数是一个道理，一般书里的写法是数学上不太严格的，不过无伤大雅，毕竟学的是物理，不是数学。

不赞同波函数的连续性由薛定谔方程决定的说法，波函数的连续性是由概率诠释确定的，粒子的波函数，这里用来表示，其模方代表概率密度，具有连续性