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【058】經典題：多種方法求取值範圍

雪花台灣 2019-05-14 19:36

例設正數，滿足，求的取值範圍。

解答1 （猜想）令，解得，此時；

令，解得，此時。故。

解答2 注意到 $a^2+b^2+ab=frac{3}{4}(a+b)^2+frac{1}{4}(a-b)^2=3$

$Leftrightarrowfrac{(a+b)^2}{4}+frac{(a-b)^2}{12}=1$ ，不妨設

令 $left{ egin{aligned} &a+b=2cos heta\ &a-b=2sqrt 3 sin hetaend{aligned} ight.$ ，解得 $left{ egin{aligned} &a=cos heta+sqrt 3sin heta=2cos( heta-frac{pi }{3})\ &b=cos heta-sqrt 3sin heta=2cos( heta+frac{pi }{3})end{aligned} ight.$

由，，解得 $-frac{pi}{6}< heta<frac{pi }{6}$

故 $2a+b=3cos heta+sqrt 3sin heta=2sqrt 3sin ( heta+frac{pi}{3})$

由 $-frac{pi}{6}< heta<frac{pi }{6}$ 知 $heta+frac{pi}{3}in (frac{pi}{6},frac{pi}{2})$ ，故。

解答3 在中，令 $C=frac{2pi}{3}$ ，設角，，的對邊分別為，，

則由余弦定理知，解得

由正弦定理知 $frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2$ ，又

解得 $left{ egin{aligned} &a=2sin A\ &b=2sin (frac{pi}{3}-A)end{aligned} ight.$ ，故 $2a+b=4sin A+2sin (frac{pi }{3}-A)$

$=4sin A+2(frac{sqrt 3}{2}cos A-frac{1}{2}sin A)=3sin A+sqrt 3 cos A$

$=2sqrt 3sin (A+frac{pi }{6})$ ，由 $0<A<frac{pi }{3}$ 知 $frac{pi }{6}<A+frac{pi }{6}<frac{pi }{2}$

故。

解答4 記，則，代入得：

考慮二次函數，其在有根

$Leftrightarrowleft{ egin{aligned} &Delta =(3z)^2-4cdot 3(z^2-3)=3(12-z^2)>0\ &x_0=frac{3z}{3}=z>0\ &f(0)=z^2-3>0end{aligned}<br /> ight.$

解得，故。

經評論區提醒，本題還可以採用「齊次化」的方法。

解答5 記，則 $frac{z^2}{3}=frac{4a^2+4ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=4-frac{3 b^2}{a^2+ab+b^2}$

$=4-frac{3}{(frac{a}{b})^2+(frac{a}{b})+1}in(1,4)$ ，進而

故。

解答6 令，其中，代入得：

$a=frac{sqrt 3}{sqrt {k^2+k+1}}$ ， $b=frac{sqrt 3k}{sqrt {k^2+k+1}}$

故 $2a+b=frac{sqrt 3(k+2)}{sqrt {k^2+k+1}}$ ，令，則 $frac{1}{t}in(0,frac{1}{2})$

$2a+b=frac{sqrt 3t}{sqrt {t^2-3t+3}}=frac{sqrt 3}{sqrt{3(frac{1}{t})^2-3(frac{1}{t})+1}}in(sqrt 3,2sqrt 3)$

。

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