例 已知函數 f(x)=xe^x , g(x)=ln x+1 ，其中 x>0 。

（1）記 h(x)=ln f(x)-2g(x) ，求 h(x) 的單調區間和最小值；

（2）當 x>0 時，若不等式 f(x)>kg(x) 恆成立，求整數 k 的最大值。

解答 （1） h(x)=x-ln x-2 ， h(x)=1-frac{1}{x}=frac{x-1}{x}

因此 h(x) 在 (0,1) 單調遞減，在 (1,+infty) 單調遞增， h(x)_{min}=h(1)=-1 。

（2） Leftrightarrow xe^x>k(ln x+1) ，取 x=1 ，得 k<e ，因此 kle 2

當 k=2 時，下證： x e^x>2ln x+2 ，其中 x>0 。

證明1 注意到 e^xgeq ex ，因此 xe^x-2ln xgeq ex^2-2ln x

令 varphi(x)=ex^2-2ln x ， varphi(x)=2ex-frac{2}{x}=frac{2(ex^2-1)}{x}

因此 varphi(x)=varphi(frac{1}{sqrt e})=2 ，注意到兩個不等號不同時取等，

因此 xe^x-2ln x>2 ，證畢。

另外 @Duriey 給出了一種很漂亮的做法：

證明2 注意到 e^xgeq x+1 ，故 xe^x=e^{x+ln x}geq x+ln x+1

因此 xe^x-2ln xgeq x-ln x+1 ，又由（1）知 x-ln xgeq 1

故 x-ln x+1geq 2 ，注意到兩個不等號不同時取等，

因此 xe^x-2ln x>2 ，證畢。


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