例 已知函數 f(x)=ln (x+1) ，其中 xgeq 0 。

（1）證明： f(x)le x ；

（2）若 f(x)+ax^2geq x ，求實數 a 的取值範圍；

（3）對任意正整數 n ，證明： ln (n+1)<sum_{k=1}^nfrac{1}{k}<1+ln (n+1) 。

證明 （1）令 g(x)=x-ln (x+1) ， g(x)=1-frac{1}{x+1}=frac{x}{x+1}geq 0

g(x) 在 [0,+infty) 單調遞增， g(x)geq g(0)=0 ，故 xgeq ln (x+1) ，證畢。

解答 （2）令 g(x)=ln (x+1)+ax^2-x ， g(0)=0 ， xgeq 0

g(x)=frac{1}{x+1}+2ax-1=frac{xcdot [2ax+2a-1]}{(x+1)}

令 h(x)=2ax+2a-1 ， h(0)=2a-1 ，由此討論。

（i）若 ageq frac{1}{2} ，則 h(x)geq h(0)=2a-1geq 0 ， g(x)geq 0

g(x) 在 [0,+infty) 單調遞增， g(x)geq g(0)=0 ，滿足條件；

（ii）若 ale 0 ， h(x)le h(0)=2a-1<0 ， g(x)<0

g(x) 在 [0,+infty) 單調遞減， g(x)le g(0)=0 ，矛盾；

（iii）若 0 ，令 <img src= ， x_0=frac{1}{2a}-1>0 ，

當 0<x<x_0 時， h(x)<0 ， g(x)<0 ， g(x) 在 (0,x_0) 遞減

forall xin (0,x_0) ， g(x)<g(0)=0 ，矛盾。

綜上， a 的取值範圍是 [frac{1}{2},+infty) 。

證明 （3）由（1）和（2）得 x-frac{1}{2}x^2le ln (x+1)le x ， xgeq 0

先證明左式：令 x=frac{1}{k} ，得 ln (frac{1}{k}+1)=ln (k+1)-ln (k)<frac{1}{k}

因此 sum_{k=1}^nfrac{1}{k}>sum_{k=1}^n(ln (k+1)-ln (k))=ln (n+ 1) ，左式成立；

再證明右式：令 x=frac{1}{k} ，得 ln (k+1)-ln (k)>frac{1}{k}-frac{1}{2k^2}

因此 sum_{k=1}^nfrac{1}{k}<ln (n+1)+sum_{k=1}^nfrac{1}{2k^2} ，只需證明 sum_{k=1}^nfrac{1}{2k^2}<1

也即證明 sum_{k=1}^nfrac{1}{k^2}<2 ，當 n=1 時， 1<2 ，下設 ngeq 2

注意到當 kgeq 2 時， frac{1}{k^2}<frac{1}{(k-1)k}=frac{1}{k-1}-frac{1}{k}

因此 sum_{k=1}^nfrac{1}{k^2}=1+sum_{k=2}^nfrac{1}{k^2}<1+sum_{k=2}^n(frac{1}{k-1}-frac{1}{k})=2-frac{1}{n}<2 ，證畢。


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