【Fermat-副会长】在锐角三角形 riangle ABC 中, a,b,c 为对边，若 a^2+b^2=5c^2 ,则 cos C 的取值范围为( )

mathrm{A.}left[dfrac{4}{5},dfrac{2sqrt{2}}{3} ight)qquadmathrm{B.}left[dfrac{1}{2},dfrac{2sqrt{2}}{3} ight)qquadmathrm{C.}left[dfrac{4}{5},dfrac{sqrt{6}}{3} ight)qquadmathrm{D.}left[dfrac{4}{5},1 ight)qquad

【解析】因为锐角三角形 riangle ABC

所以，

egin{cases} a^2+c^2>b^2\ b^2+c^2>a^2 end{cases}

代入 a^2+b^2=5c^2 可得，

egin{cases} dfrac{6}{5}a^2>dfrac{4}{5}b^2\ dfrac{6}{5}b^2>dfrac{4}{5}a^2\ end{cases}

解得： dfrac{2}{3}<dfrac{a^2}{b^2}<dfrac{3}{2}

由余弦定理

egin{aligned}cos C&=dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\ &=dfrac{2}{5}left(dfrac{a}{b}+dfrac{b}{a} ight) end{aligned}

令 t=dfrac{a}{b},则dfrac{sqrt{6}}{3}<t<dfrac{sqrt{6}}{2}

从而，

dfrac{4}{5}leqslantcos C<dfrac{sqrt{6}}{3}

选C.

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