遐思：線性微分方程通解的本質

引用一下同濟大學數學系編著的《高等數學》中對n階齊次線性方程通解的描述

如果 $y_{1}(x), y_{2}(x) ... y_{n}(x)$ 是n階齊次線性方程 $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{1}(x)y+a_{0}(x)y=0$ 的n個線性無關的解，那麼，此方程的通解為 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+...+C_{n}y_{n}(x)$ ，其中為任意常數

3Blue1Brown啟發我們，如果一個表達式包含，那麼在其中某處一定隱藏著一個圓

同樣，當談到線性相關，我們也會自然而然地產生疑問，到哪裡去尋找「向量」？

根據小學中學學習方程、函數的經驗，我們都會有一種很正常的認知

"與是方程的主角，所有的Constant都是重要性不及它們的參數"

擁有這樣的想法，以至於我在學習時產生了許多疑問

越往深入，就越容易迷失在錯綜複雜的思考迷宮中

例如這樣一個問題："為什麼被稱為一階齊次線性方程，齊次體現在哪？"

如果我們以另一種角度看待微分方程及其通解，我們會發現一個美妙的線性空間

裡面的主角，就是被我們稱為「任意常數」的，於是一切問題也就迎刃而解了

廣義向量與線性空間

感謝提醒，原文這裡的邏輯推理有點問題，於是做一點修改

Updated 2019.03.09

如果給定n元組表示的0...n-1階導數在某一點的初值

其實初值也就對應了常數項

這時，如果我們知道了 $y^{(n)}$ 的表達式，那麼我們可以唯一確定了

這是因為對於每一次 $int{y^{(i)}}dx+C_{i}=y^{(i-1)}$ ，都會產生一個獨立的 $C_{i}$

再由微分方程基本定理：

若已知微分方程 $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{0}(x)y=0$ 和上述n元組

就可以解得確定的 $y^{(n)}$ ，也即，可以唯一確定的表達式

簡要證明一下

假設存在兩個不同的 $y_{1}^{(n)}, y_{2}^{(n)}$ ，分別對應微分方程的解為 $y_{1},y_{2}$

$y_{1}^{(n)}+a_{n-1}(x)y_{1}^{(n-1)}+...+a_{0}(x)y_{1}=0 \ y_{2}^{(n)}+a_{n-1}(x)y_{2}^{(n-1)}+...+a_{0}(x)y_{2}=0$

作差得到 $(y_{1}^{(n)}-y_{2}^{(n)})+a_{n-1}(x)(y_{1}^{(n-1)}-y_{2}^{(n-1)})+...+a_{0}(x)(y_{1}-y_{2})=0$

變換一下形式 $(y_{1}-y_{2})^{(n)}+a_{n-1}(x)(y_{1}-y_{2})^{(n-1)}+...+a_{0}(x)(y_{1}-y_{2})=0$

就可以看出 $Y=y_{1}-y_{2}$ 也為原微分方程的解

並且的0...n-1階導數在的初值為 $y_{1}^{(i)}(b)-y_{2}^{(i)}(b)=B_i-B_{i}=0$

因為微分方程是恆等式，代入上述的初值，得到

$Y^{(n)}(b)+a_{n-1}(b)*0+...+a_{0}(b)*0=0$

可知 $Y^{(n)}$ 在的值也為0，即推出初值 $y_{1}^{(n)}(b)=y_{2}^{(n)}(b)=B_n$

然後對原微分方程求導，可以繼續遞推證明得到所有 $Y^{(n+k)}(b)=0$

由導數的性質，在某點導數全為0的函數，必然是常函數，這裡

因此 $y_{1}=y_{2}$ ，與假設矛盾，證畢

由此，我們可以說

唯一確定 的表達式需要一個n元組

並且每一個n元組 對應且僅對應一個

也就是說所有的 可以映射到一個n維空間，知道了這一點

我們想要表達 就並不一定需要依賴 $y, y, ... , y^{(n)}$ 它們了

而只需要隨意找到空間中n個線性無關的基底，用這些基底去變換"任意常數"

就可以唯一線性表出每一個

於是我們算得某n個線性無關的特解 $y_{1}(x), y_{2}(x) ... y_{n}(x)$

並把它們分別作為n維空間每一維坐標軸的單位向量 $left[ egin{matrix} y_{1}(x) & 0 & cdots & 0 \ 0 & y_{2}(x) & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & y_{n}(x) \ end{matrix} ight]$

那麼 $left[ egin{matrix} y_{1}(x) & 0 & cdots & 0 \ 0 & y_{2}(x) & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & y_{n}(x) \ end{matrix} ight]$ $left[ egin{matrix} C_{1} \ C_{2} \ vdots \ C_{n} end{matrix} ight]$

也就是前面說的，"任意常數" 與基底張成了整個n維空間

n維空間每一個點（向量）都唯一對應了一個解 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+...+C_{n}y_{n}(x)$

同時我們發現 $D=frac{d}{dx}$ 運算元滿足

以及這樣的線性變換性質

令 $left[ egin{matrix} y_{1}(x) & 0 & cdots & 0 \ 0 & y_{2}(x) & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & y_{n}(x) \ end{matrix} ight]$ , $left[ egin{matrix} C_{1} \ C_{2} \ vdots \ C_{n} end{matrix} ight]$

易得 $left[ egin{matrix} y_{1}(x) & 0 & cdots & 0 \ 0 & y_{2}(x) & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & y_{n}(x) \ end{matrix} ight]$

可以將原方程 $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{1}(x)y+a_{0}(x)y=0$

改寫為 $(D^{n}+a_{n-1}(x)D^{n-1}+...+ a_{0}(x))*Y=vec0$

即 $((D^{n}+a_{n-1}(x)D^{n-1}+...+ a_{0}(x))*B)*C=vec{0}$

令線性變換 $((D^{n}+a_{n-1}(x)D^{n-1}+...+ a_{0}(x))*B)=T$

我們就得到了這個線性變換描述的方程了

可以發現，我們早已沒有把與相關的表達式看作"未知數"

而是把它們當作常數、基底、係數一般的存在了

這樣就可以隱約解釋，為什麼 $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{1}(x)y+a_{0}(x)y=0$

這樣的方程被稱為齊次線性方程了。實際上，就是線性變換的係數，因為我們做變換的對象，就是以的表達式為基底的線性空間

同理，也可以解釋為什麼 $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{1}(x)y+a_{0}(x)y=f(x)$

它的通解是對應齊次方程的通解再加上此方程某一的特解 $y^{*}(x)$ 了

將一次函數的表達式作為參考，來思考方程的本質

事實上我們只需要將空間升一維，新的一維來表示方程右邊的所有取值

（注意：這裡的"所有取值"並不是函數的值域，而是含的所有可能表達式）

原來的n維空間構成了n+1維空間的"平面"，我們現在便只需要添加"常數"，便能將其"上下平移"了，在線性變換的意義下，的變換目標就由變為了 $left[ egin{matrix} 0 \ 0 \ vdots \ 0 \ f(x) end{matrix} ight]$

於是類似的

令 $left[ egin{matrix} y_{1}(x) & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & y_{2}(x) & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots\ 0 & 0 & cdots & y_{n}(x) & 0 \ 0 & 0 & cdots & 0 & y^{*}(x) end{matrix} ight]$ , $left[ egin{matrix} C_{1} \ C_{2} \ vdots \ C_{n} \ 1 end{matrix} ight]$