逆

任何矩陣都可以分解為旋轉、縮放、旋轉三個相乘的矩陣（查閱線性代數）：

M = R_1scale(delta_1,delta_2,delta_3)R_2

它的逆很容易求出（旋轉矩陣為正交陣，它的逆就是它的轉置）:

M = R_2^Tscale(1/delta_1,1/delta_2,1/delta_3)R_1^T

平移矩陣的逆

用幾何的方式來看，我們平移變換就是把它移動 (T_x, T_y, T_z) ，那麼逆就是把它反向移，也就是 (-T_x, -T_y, -T_z) :

T = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & T_x \ 0 & 1 & 0 & T_y\ 0 & 0 & 1 & T_z\ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

逆:

T^{-1} = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -T_x \ 0 & 1 & 0 & -T_y\ 0 & 0 & 1 & -T_z\ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

縮放矩陣的逆

同樣用幾何的方式來看，縮放放大 (S_x, S_y, S_z) ,所以我們縮小回去，也就是 (1/S_x, 1/S_y, 1/S_z) :

S = egin{pmatrix} S_x & 0 & 0 & 0 \ 0 & S_y & 0 & 0 \ 0 & 0 & S_z & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

逆:

S^{-1} = egin{pmatrix} 1/S_x & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1/S_y & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1/S_z & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

旋轉矩陣的逆

旋轉矩陣有特殊的性質，它是一個正交矩陣，它的逆剛好是它的轉置：

R = egin{pmatrix} A & B & C & 0 \ D & E & F & 0\ G & H & I & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

逆就是它的轉置：

R^{-1} = egin{pmatrix} A & D & G & 0 \ B & E & H & 0\ C & F & I & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

坐標變換

坐標變換的意思是，比如我們看一個點P，它在xy系統中的表示是 (x_P, y_P) ,它在uv系統中的坐標是 (u_p, v_p) , uv 在xy坐標系中是 (x_u,y_u),(x_v,y_v) ，因為在它本身坐標系中是(1,0)和(0,1).

egin{pmatrix} x_p \ y_p \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 & x_e\ 0 & 1 & y_e \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_u & x_v & 0\ y_u & u_v & 0\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} u_p \ v_p \ 1 end{pmatrix}

逆變換：

egin{pmatrix} u_p \ v_p \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} x_u & y_u & 0\ x_v & y_v & 0\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 & 0 & -x_e\ 0 & 1 & -y_e \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_p \ y_p \ 1 end{pmatrix}

三維坐標系也是一樣，同時這也給出了我們坐標變換的公式：

egin{pmatrix} x_p \ y_p \ z_p \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x_e\ 0 & 1 & 0 & y_e \ 0 & 0 & 1 & z_e \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_u & x_v & x_w & 0 \ y_u & y_v & y_w & 0 \ z_u & z_v & z_w & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} u_p \ v_p \ w_p \ 1 end{pmatrix}

逆變換：

egin{pmatrix} u_p \ v_p \ w_p \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} x_u & y_u & z_u & 0 \ x_v & y_v & z_v & 0 \ x_w & y_w & z_w & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e\ 0 & 1 & 0 & -y_e \ 0 & 0 & 1 & -z_e \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_p \ y_p \ z_p \ 1 end{pmatrix}

這就是坐標變換，讓我們可以把一個點從一個坐標系變到另一個坐標系。

窗口變換

變換矩陣經常需要把 [a,A] x [b, B] 矩形範圍變換到 [c, C] x [d, D]。我們可以採取以下的操作：

  • 平移(a,b)移動到原點
  • 縮放矩形，達到目標矩形的大小
  • 原點移動到 (c,d)

egin{align} window &= translate(c,d) scale(frac{C-c}{A-a}, frac{D-d}{B-b}) translate(-a,-b) \ &= egin{pmatrix} 1 & 0 & c\ 0 & 1 & d\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} frac{C-c}{A-a} & 0 & 0\ 0 & frac{D-d}{B-b} & 0\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 & 0 & -a\ 0 & 1 & -b\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} \ &= egin{pmatrix} frac{C-c}{A-a} & 0 & frac{cA-Ca}{A-a}\ 0 & frac{D-d}{B-b} & frac{dB-Db}{B-b}\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} end{align}

思考方式是通用的，然後這種思考方式感覺去做別的變換也都是可以『拿來主義』。


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