例 銳角 Delta ABC 中， 2a^2+b^2=2c^2 ，求 frac{1}{ an A}+frac{1}{ an B}+frac{1}{ an C} 的最小值。

解答 由余弦定理： c^2=a^2+b^2-2abcos C ，代入 2a^2+b^2=2c^2 得：

4acos C=b ，由正弦定理，該式等價於： 4sin A cos C=sin B

注意到 A+B+C=pi ，故 sin B=sin (A+C)=sin A cos C+sin C cos A

代入 4sin A cos C=sin B ，整理得： an C=3 an A

進一步有 an C=- an (A+B)=frac{ an A+ an B}{ an A an B-1 }

代入 an C=3 an A ，整理得： an B=frac{4 an A}{3 an ^2 A-1}

（容易排除 A=frac{pi}{6} 的情況，此處省略）

因此 frac{1}{ an A}+frac{1}{ an B}+frac{1}{ an C}=frac{1}{ an A}+frac{3 an ^2 A-1}{4 an A}+frac{1}{3 an A}

=frac{9 an^2 A+13}{12 an A}geq frac{2sqrt {9cdot 13}cdot an A}{12 an A}=frac{sqrt {13}}{2} ，即為所求最小值。

推薦閱讀：

相关文章