例 已知函數 f(x)=ln x-frac{1+lambda}{x+lambda}cdot (x-1) ， g(x)=x-ln x ，其中 lambda>0 。

（1）討論函數 f(x) 的單調性；

（2）設 lambda>1 ，正實數 x_1 ， x_2 滿足 g(x_1)=g(x_2) ，且 1<frac{x_2}{x_1}<lambda ^2 ，證明： 2<lambda x_1+x_2<lambda +1 。

解答 （1） f(x)=frac{1}{x}-frac{(lambda +1)^2}{(x+lambda )^2} =frac{(x-1)(x-lambda ^2)}{x(x+lambda )^2} ， x>0

（i）若 0<lambda <1 ，則 f(x) 在 (0,lambda ^2) 遞增， (lambda ^2,1) 遞減， (1,+infty) 遞增；

（ii）若 lambda =1 ，則 f(x)=frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}geq 0 ， f(x) 在 (0,+infty ) 遞增；

（iii）若 lambda >1 ，則 f(x) 在 (0,1) 遞增， (1,lambda ^2) 遞減， (lambda ^2,+infty) 遞增。

（2）令 k=frac{x_2}{x_1}in (1,lambda ^2) ，則 x_2=kx_1 ，代入 g(x_1)=g(x_2) 得：

x_1-ln x_1=x_2-ln x_2=kx_1-ln k-ln x_1

解得 x_1=frac{ln k}{k-1} ， x_2=frac{kln k}{k-1} ，其中 kin (1,lambda ^2)

當 lambda >1 時， lambda x_1+x_2>x_1+x_2 ，先證明： x_1+x_2>2

Leftrightarrow frac{(k+1)ln k}{k-1}>2 ，在（1）中，取 lambda =1 ， x>1

則 f(x)=ln x-frac{2(x-1)}{x+1}geq f(1)=0 Leftrightarrowfrac{(x+1)ln x}{x-1}>2

另一方面，在（1）中，取 lambda >1 ， 1<x<lambda ^2

則 f(x)=ln x-frac{1+lambda}{x+lambda}cdot (x-1)<f(1)=0 Leftrightarrowfrac{(x+lambda)ln x}{x-1}<lambda +1

因此 lambda x_1+x_2=frac{(k+lambda)ln k}{k-1}<lambda +1

綜上有 2<lambda x_1+x_2<lambda +1 ，證畢。


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