例 已知函數 f(x)=xln x ，其中 x>1 。

（1）證明：存在唯一的 x_0in (sqrt e,e) ，使 f(x_0)=1 。

（2）記函數 g(x)=frac{e^x}{ln x} 在 (1,+infty) 的最小值為 m ，證明： e^2<m<sqrt {e^5} 。

證明 （1） f(x)=ln x+1>0 ，f(x) 在 (1,+infty) 單調遞增

注意到 f(sqrt e)=frac{1}{2}sqrt e<1 ， f(e)=e>1

故存在唯一的 x_0in (sqrt e,e) ，使 f(x_0)=1 ，證畢；

（2） g(x)=frac{(xln x-1)e^x}{xln ^2x} ，由（1）知：

存在唯一的 x_0in (sqrt e,e) ，使 g(x_0)=0 ，即 x_0ln x_0=1

當 1<x<x_0 時， g(x)<0 ；當 x>x_0 時， g(x)>0

故 m=g(x_0)=frac{e^{x_0}}{ln x_0}=x_0e^{x_0}=e^{x_0+ln x_0}

=e^{ln x_0+frac{1}{ln x_0}} ，又 x_0in (sqrt e,e) ， ln x_0in (frac{1}{2},1)

故 ln x_0+frac{1}{ln x_0}in (2,frac{5}{2}) ， min (e^2,sqrt{e^5}) ，證畢。

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