這道題目和我發的前一道題目挺像的。

但是這道題目比上一道題目簡單多了，也許比較適合放在高考。

例 已知等比數列 {a_n} 的首項 a_1=2 ，且 a_2-2 ， a_3 ， a_4-2 成等差數列。

（1）求數列 {a_n} 的通項公式；

（2）證明： frac{1}{a_1-1}+frac{1}{a_2-2}+cdots+frac{1}{a_n-n}<2 。

解答 （1）設該數列的公比為 q ，則 a_2=2q ， a_3=2q^2 ， a_4=2q^3

由題意得 2q-2+2q^3-2=4q^2Leftrightarrow q^3-2q^2+q-2=0

Leftrightarrow (q^2+1)(q-2)=0 ，故 q=2 ，累乘得 a_n=2^n 。

證明 （2）由（1）得 a_n=2^n ，故 frac{1}{a_n-n}=frac{1}{2^n-n}

注意到當 kgeq 1 且 kin N^+ 時， 2^{k-1}geq k ，因此 frac{1}{2^k-k}le frac{1}{2^k-2^{k-1}}=frac{1}{2^{k-1}}

因此 sum _{k=1}^n(frac{1}{2^k-k})le sum_{k=1}^n(frac{1}{2^{k-1}})=2-frac{1}{2^{k-1}}<2 ，證畢。

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